Demonstre que

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x p = 0

para todo p > 0 . Isso mostra que a função logaritmo tende a infinito mais vagarosamente que qualquer potência de x .

Passo 1

Opa, temos aqui uma questão de demonstração:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x p = 0

Para p > 0 .

Ou seja, queremos mostrar que a função logaritmo tende a infinito mais devagar que qualquer potência de x , mesmo que tivéssemos x 100000000000 , por exemplo!

Para demonstrar esse limite, vamos usar a boa e velha regra de L’Hospital, isso porque:

ln ⁡ x x p = ∞ ∞

A regra de L’Hospital diz que:

lim x → a ⁡ f x g x = lim x → a ⁡ f ' x g ' x

Passo 2

Aqui temos:

f x = ln ⁡ x

g x = x p

Derivando:

f ' x = 1 x

g ' x = p x p - 1

Então:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x p = lim x → ∞ ⁡ 1 / x   p   x p - 1

Passo 3

Agora vamos calcular o limite:

lim x → ∞ ⁡ 1 / x   p   x p - 1 = 0 ∞ = 0

Prontinho, provado!

Resposta

Demonstração.

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