Numa cabo telegráfico, a medida da velocidade escalar do sinal é proporcional a x^2 * ln(1 / x) onde x é a razão entre a medida do raio do núcleo do cabo e a sua espessura. Ache o valor de ln(x) para qual o velocidade escalar do sinal seja máxima.

Passo 1

Queremos encontrar o valor para l n x de tal modo que a velocidade escalar seja máxima. A forma de encontrar isso é derivando a nossa equação e igualando a zero, buscando o(s) ponto(s) de máximo. Primeiramente, vamos reorganizar a equação para que fique melhor de trabalharmos.

v = x 2 ln ⁡ 1 x v = x 2 ln ⁡ 1 - ln ⁡ x v = x 2 ln ⁡ 1 - x 2 ln ⁡ x v = - x ² l n ⁡ ( x )

Passo 2

Vamos agora derivar a equação:

d v d t = 0 → - 2 x l n x - x 2 x = 0 2 x l n x = - x 2 x 2 x l n x = - x l n x = - x 2 x l n x = - 1 2

Resposta

O valor de x l n x para que a velocidade escalar do sinal seja máxima é:

ln ⁡ x = - 1 2

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