Prove que lim x→0 xlnx = 0 .

Passo 1

Se 0 < t < 1 então 1 t 3 / 2 > 1 t > 0 . Se 0 < x < 1 então:

∫ x 1 t - 3 2 d t > ∫ x 1 1 t d t > ∫ t 1 0 d t - 2 t - 1 2 x 1 > [ ln ⁡ t ]   x 1 > 0 2 x - 1 2 - 2 > - l n x > 0 Multiplicando todos os termos por x :

2 x 1 2 - 2 x > - x l n x > 0

Passo 2

Sabemos que lim x → 0 ⁡ 2 x 1 / 2 - 2 x = 0 e lim x → 0 ⁡ 0 = 0 , então podemos achar o valor do lim x → 0 ⁡ x l n x utilizando o teorema do confronto. O teoremoa do confronto se refere a função cujo os valores estão limitados entre duas outras funções. Suponha que g x < f x < h ( x ) para qualquer x em uma intervalo aberto contendo c, exceto em x=c (pois não nos interessa o valor quando x=c quando calculamos limites, apenas o valor que a função irá assumir quando os valores se aproximarem cada vez mais dele). Suponha também que lim x → c ⁡ g ( x ) = lim x → c ⁡ h ( x ) = L . Então, lim x → c ⁡ f x = L .

Tendo esse teorema na cabeça, vamos aplicá-lo na nossa questão!

l i m x → 0 2 x 1 2 - 2 x > l i m x → 0 - x l n x > lim ⁡ x → 0 0 0 > l i m x → 0 - x l n x > 0

Logo, l i m x → 0   x l n x = 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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