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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.3 - Ex. 50

A densidade linear de uma barra num ponto a x cm de um extremo é de 2 ( 1 + x ) g/cm. Se a barra tiver 15 cm de comprimento, ache a massa e o centro de massa da barra.

Passo 1

Para calcular a massa da barra, devemos integrar a densidade linear, dentro do intervalo que compreende o tamanho da barra.

m = ∫ 0 15 2 1 + x d x m = 2 ∫ 0 15 1 1 + x d x m = 2 ln ⁡ 1 + x 0 15 m = 2 ln ⁡ 16 - ln ⁡ 1 m = 2 ln ⁡ 16 m = 5,54   g

Passo 2

Para determinarmos o centro de massa precisamos resolver a seguinte integral:

x - = 1 5,54 ∫ 0 15 x 2 1 + x d x x - = 0,18 * 2 ∫ 0 15 x 1 + x d x Vamos resolver a integral, separadamente da equação, por substituição. Façamos u = x + 1   → d u = d x e podemos tirar dessa relação x = u - 1 . Assim:

A = ∫ u - 1 u d u A = ∫ u u - 1 u d u A = ∫ 1 - 1 u d u A = u - ln ⁡ u = x + 1 - ln ⁡ x + 1 Voltando para a equação:

x - = 0,36 x + 1 - ln ⁡ x + 1 0 15 x - = 0,36 * 15 - l n 16 - 1 + ln ⁡ 1 x - = 0,36 * 14 - l n 16 x - = 4,04   c m

Resposta

A massa da barra é igual a 5,54 g e o centro da massa é x - = 4,04   c m .

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