Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.8 - Ex. 4b
Para cada aproximação inicial, determine graficamente o que acontecerá se for usado o método de Newton para a função cujo gráfico é dado.
b)
Passo 1
Fala aí, tudo bem com você?
Bom, essa questão dá pra gente o seguinte gráfico:
E pede pra gente determinar graficamente o que acontecerá se for usado o método de Newton para essa função, fazendo
Para isso, precisamos lembrar que no método de Newton vamos considerar uma reta tangente à curva da função no ponto .
Depois devemos procurar a interseção de como o eixo , que será chamada de e verificar o quão próximo está da interseção da curva com o eixo .
Para encontrar , podemos fazer:
Depois, repetimos o processo, usando como uma segunda aproximação, fazendo:
E podemos repetir o processo quantas vezes for necessário. De modo geral, fazendo
E se ficar cada vez mais próxima da raiz de nossa curva à medida que cresce, fazemos com que a sequência vá para .
Assim:
Show. Então pegaremos essa ideia e aplicaremos graficamente para ver se o método nos levará para a raiz. Vem ver isso acontecendo.
Passo 2
Para , traçaremos uma reta tangente ao gráfico da função.
Neste caso a reta tangente é horizontal e não conseguimos achar o ponto para dar continuidade ao método de Newton.
Em casos assim, nunca iremos nos aproximar da raiz da função, então dizemos que o método de Newton falha.
Resposta
Para o método de Newton falha, pois a reta tangente ao gráfico é horizontal.