Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 5
Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
Passo 1
Fala, meu amigo. Vamos resolver juntos essa atividade.
Nos foi dada a função:
E queremos encontrar os valores máximos e mínimos dela, a partir dos multiplicadores de Lagrange.
Devemos ainda nos atentar para o fato de que temos a seguinte restrição:
Para usar os multiplicadores de Lagrange, precisamos que:
Em que
Devemos então encontrar os gradientes das funções, que são dados por:
Isso é, as derivadas parciais de todas as variáveis da função. Para se encontrar a derivada parcial devemos derivar em relação a variável que a gente quer e considerar todas as outras variáveis como constantes.
Depois disso teremos em mãos um sistema com a igualdade que apresentamos e que deve ser resolvido em conjunto com a equação de restrição. Disso teremos pontos críticos, esses pontos serão utilizados na equação da função.
O ponto com maior valor de será o ponto de máxima, e o ponto de menor valor será o ponto de mínimo.
Passo 2
Para usar os multiplicadores de Lagrange, precisamos que:
Então vamos encontrar os gradientes:
Temos:
E
E para a nossa restrição:
Derivando em relação a :
E em relação a :
Teremos então:
Beleza, daqui a gente tira que:
E precisamos satisfazer:
Vamos isolar o nas duas:
Ou seja,
Jogando em temos:
Aí se vai ser:
Se o o resultado será o mesmo.
Passo 3
Os pontos que nós vamos considerar então são:
Vamos ver o valor da função nesses pontos agora:
Ou seja, o valor mínimo da função na restrição dada é , e o valor máximo é