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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 1

  1. Encontre o máximo e mínimo de f (x , y) = x + y^2 na região

D = {(x , y) in R^2 , (x - 2)^2 + y^2 <= 1}

Passo 1

Oii, vamos agora treinar o método dos multiplicadores de Lagrange que consiste em fazer um sistema

grad f (x , y) = lambda grad g

g (x , y)

Onde f é a nossa função e g é nossa região. Sendo lambda nosso multiplicador de Lagrange. Basicamente vamos analisar os pontos onde

grad f (x , y) = (0,0)

E também onde os pontos que encontrarmos no sistema do método de Lagrange. Bora cair dentro!

Passo 2

Vamos calcular o gradiente da nossa função

grad f (x , y) = (1,2 y)

Esse gradiente nunca se anula por completo. Mas pode ser um ponto interessante observar o ponto

(1,0)

E que faz nossa função ficar com o seguinte valor

f (1,0) = 1 + 0^2 -> 1

Passo 3

Vamos usar os multiplicadores agora. Vamos calcular o gradiente de g

g : (x - 2)^2 + y^2 - 1 = 0

grad g = (2 (x - 2) , 2 y)

Com isso nosso sistema é

1 = lambda (2 x - 4)

2 y = lambda (2 y)

(x - 2)^2 + y^2 - 1 = 0

Podemos perceber pelo item II que

2 y = lambda (2 y)

lambda = 1

Isso faz com que na equação I aconteça o seguinte:

1 = lambda (2 x - 4)

1 = (2 x - 4)

x = (5)/(2)

Vamos usar esse resultado na equação III

(x - 2)^2 + y^2 - 1 = 0

((5)/(2) - 2)^2 + y^2 - 1 = 0

y^2 = (3)/(4)

y = +- (sqrt(3))/(2)

Vamos testar os pontos ((5)/(2) , (sqrt(3))/(2)) , ((5)/(2) , (- sqrt(3))/(2))

f (x , y) = x + y^2

f ((5)/(2) , (sqrt(3))/(2)) = (5)/(2) + (3)/(4) -> (13)/(4)

Pelo formato da equação podemos afirmar que

f ((5)/(2) , - (sqrt(3))/(2)) = (13)/(4)

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Máximo em

f ((5)/(2) , (sqrt(3))/(2)) = (13)/(4)

f ((5)/(2) , - (sqrt(3))/(2)) = (13)/(4)

Mínimo em

f (1,0) = 1

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Ache os valores de máximo e mínimo da f sujeita àsrestrições dadas. Utilize um sistema computacional algébrico para resolver o sistema de equações proveniente do uso dos multiplicadores de Lagrange. (
Ache os valores de máximo e mínimo da f sujeita àsrestrições dadas. Utilize um sistema computacional algébrico para resolver o sistema de equações proveniente do uso dos multiplicadores de Lagrange. (