1. Encontre o máximo e mínimo de f(x, y) = x + y^2 na região

D = {(x, y) ∈ R^2 | (x - 2)^2 + y^2 ≤ 1}

Passo 1

Oii, vamos agora treinar o método dos multiplicadores de Lagrange que consiste em fazer um sistema

∇ f x , y = λ ∇ g

g x , y

Onde f é a nossa função e g é nossa região. Sendo λ nosso multiplicador de Lagrange. Basicamente vamos analisar os pontos onde

∇ f x , y = 0,0

E também onde os pontos que encontrarmos no sistema do método de Lagrange. Bora cair dentro!

Passo 2

Vamos calcular o gradiente da nossa função

∇ f x , y = 1,2 y

Esse gradiente nunca se anula por completo. Mas pode ser um ponto interessante observar o ponto

1,0

E que faz nossa função ficar com o seguinte valor

f   1,0 = 1 + 0 2 → 1

Passo 3

Vamos usar os multiplicadores agora. Vamos calcular o gradiente de g

g   :   x - 2 2 + y 2 - 1 = 0

∇ g = 2 x - 2 ,   2 y  

Com isso nosso sistema é

1 = λ 2 x - 4  

2 y = λ 2 y

x - 2 2 + y 2 - 1 = 0

Podemos perceber pelo item II que

2 y = λ 2 y

λ = 1

Isso faz com que na equação I aconteça o seguinte:

1 = λ 2 x - 4  

1 = 2 x - 4  

x = 5 2

Vamos usar esse resultado na equação III

x - 2 2 + y 2 - 1 = 0

5 2 - 2 2 + y 2 - 1 = 0

y 2 = 3 4

y = ± 3 2

Vamos testar os pontos 5 2 , 3 2 , 5 2 , - 3 2

f x , y = x + y 2

f 5 2 , 3 2 = 5 2 + 3 4 → 13 4

Pelo formato da equação podemos afirmar que

f 5 2 , - 3 2 = 13 4

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Máximo em

f 5 2 , 3 2 = 13 4

f 5 2 , - 3 2 = 13 4

Mínimo em

f   1,0 = 1

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