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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 22

Calcule a integral dupla.

∬_D^() y d A , D é a r e g i ã o t r i a n g u l a r c o m v e r t i c e s (0,0) , (1,1) , e (4,0)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Bom... Nos é dito que D é uma região triangular com vértices (0,0) , (1,1) , e (4,0) .

Vamos descobrir as equações de linha que unem (0,0) e (1 , 1) . Temos:

y - 0 = (1 - 0)/(1 - 0) (x - 0)

y = (1)/(1) x

Logo:

x = y

Agora vamos descobrir a equação que une os pontos (1,1) e (4,0) :

y - 1 = (0 - 1)/(4 - 1) (x - 1)

y - 1 = - (1)/(3) (x - 1)

3 y - 3 = - x + 1

Logo:

x = 4 - 3 y

Passo 2

Podemos dizer que D é dado por:

D = { ( x , y ) | 0 <= y <= 1 , y <= x <= 4 - 3 y

Assim, a integral dupla pode ser escrita como:

∬_D^() y d A = int_0^1 int_y^(4 - 3 y) y d x d y

Vamos resolver a integral de dentro:

int_y^(4 - 3 y) y d x = [y x]_y^(4 - 3 y)

Agora, aplicando os limites de integração, temos:

int_y^(4 - 3 y) y d x = y [(4 - 3 y) - (y)]

int_y^(4 - 3 y) y d x = y [4 - 4 y]

int_y^(4 - 3 y) y d x = 4 y - 4 y^2

Logo, substituindo, temos:

int_0^1 int_y^(4 - 3 y) y d x d y = int_0^1 4 y - 4 y^2 d y

Passo 3

Agora é só resolver:

int_0^1 4 y - 4 y^2 d y = [(4 y^2)/(2) - (4 y^3)/(3)]_0^1

Agora, aplicando os limites de integração, temos:

int_0^1 4 y - 4 y^2 d y = [(4 (1)^2)/(2) - (4 (0)^2)/(2)] - [(4 (1)^3)/(3) - (4 (0)^3)/(3)]

Resolvendo, temos:

int_0^1 4 y - 4 y^2 d y = [2] - [(4)/(3)]

int_0^1 4 y - 4 y^2 d y = (2)/(3)

Portanto, nossa integral dupla será:

∬_D^() y d A = (2)/(3)

Resposta

∬_D^() y d A = (2)/(3)

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