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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 7

7. Em que pontos da elipse de equação x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a tangente a esta forma com os eixos coordenadas um triangulo de área mínima ?

Passo 1

OIi bem essa questão é do tipo que se você não montar uma estratégia clara do que vai fazer, pode ficar horas desenvolvendo contas que são rapidinhas. Entao segue comigo. O enunciado quer a area mínima. Logo fica implícito que teremos que montar uma função de area e derivar. A area de um tringulo é

A = x y 2

Logo o gradiente dessa função é

∇ A = y 2 , x 2

Esse vetor é paralelo ao vetor gradiente da elipse

g   :   x 2 a 2 + y 2 b 2 - 1 = 0

Vamos calcular o gradiente dela então

∇ g = 2 x a 2 , 2 y b 2  

Passo 2

Vamos montar agora nosso sistema de Lagrange

2 x a 2 = λ y 2

2 y b 2 = λ x 2

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Isolando λ   na equação I obtemos

λ = 4 x a 2 y

Substituindo esse resultado em II vemos

4 y 2 b 2 = 4 x 2 a 2

y 2 b 2 = x 2 a 2

Vamos substituir isso em III

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

y 2 b 2 + y 2 b 2 = 1

y =   ± b 2

SHOW!!! Conseguimos parte da resposta. Agora basta substituir e achar x

y 2 b 2 = x 2 a 2

b 2 2 b 2 = x 2 a 2

x =   ± a 2

Entao nossos pontos são

a 2 , b 2  

- a 2 , b 2  

a 2 , - b 2  

- a 2 , - b 2  

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

a 2 , b 2  

- a 2 , b 2  

a 2 , - b 2  

- a 2 , - b 2  

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