2. Um disco plano tem a forma da região do plano xy definida por x 2 + y 2 ≤ 1 Aquece-se o disco (inclusive a fronteira, onde x 2 + y 2 = 1 ) de modo que a temperatura em cada ponto é dada por T x , y = x 2 + 2 y 2 - x Determine os pontos de maior e menor aquecimento

Mínimo T 1 2 , 0 =- 1 4 Máximo T - 1 2 , 3 2 =T - 1 2 , - 3 2 = 9 4

Enunciado

Oii, vamos agora treinar o método dos multiplicadores de Lagrange que consiste em fazer um sistema

Onde é a nossa função e é nossa região. Sendo nosso multiplicador de Lagrange. Basicamente vamos analisar os pontos onde

E também onde os pontos que encontrarmos no sistema do método de Lagrange. Bora cair dentro!

Vamos calcular o gradiente da nossa função

Assim o gradiente se anula no ponto

Nesse ponto nossa função de calor tem o seguinte valor

Agora vamos usar o método de Lagrange. Vamos calcular o gradiente de g

Com isso nosso sistema é

Pela equação II podemos dizer que

Com isso, usando na equação I temos que :

Vamos usar esse valor na equação III

Com isso o valor desses pontos na nossa função é

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Mínimo

Máximo