Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 2
2. Um disco plano tem a forma da região do plano xy definida por
Aquece-se o disco (inclusive a fronteira, onde ) de modo que a temperatura em cada ponto é dada por
Determine os pontos de maior e menor aquecimento
Passo 1
Oii, vamos agora treinar o método dos multiplicadores de Lagrange que consiste em fazer um sistema
Onde é a nossa função e é nossa região. Sendo nosso multiplicador de Lagrange. Basicamente vamos analisar os pontos onde
E também onde os pontos que encontrarmos no sistema do método de Lagrange. Bora cair dentro!
Passo 2
Vamos calcular o gradiente da nossa função
Assim o gradiente se anula no ponto
Nesse ponto nossa função de calor tem o seguinte valor
Passo 3
Agora vamos usar o método de Lagrange. Vamos calcular o gradiente de g
Com isso nosso sistema é
Pela equação II podemos dizer que
Com isso, usando na equação I temos que :
Vamos usar esse valor na equação III
Com isso o valor desses pontos na nossa função é
Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/
Te vejo na próxima resolução
: )
Resposta
Mínimo
Máximo