2. Um disco plano tem a forma da região do plano xy definida por

x 2 + y 2 ≤ 1

Aquece-se o disco (inclusive a fronteira, onde x 2 + y 2 = 1 ) de modo que a temperatura em cada ponto é dada por

T x , y = x 2 + 2 y 2 - x

Determine os pontos de maior e menor aquecimento

Passo 1

Oii, vamos agora treinar o método dos multiplicadores de Lagrange que consiste em fazer um sistema

∇ f x , y = λ ∇ g

g x , y

Onde f é a nossa função e g é nossa região. Sendo λ nosso multiplicador de Lagrange. Basicamente vamos analisar os pontos onde

∇ f x , y = 0,0

E também onde os pontos que encontrarmos no sistema do método de Lagrange. Bora cair dentro!

Passo 2

Vamos calcular o gradiente da nossa função

T x , y = x 2 + 2 y 2 - x

∇ T x , y = 2 x - 1 , 4 y

Assim o gradiente se anula no ponto

1 2 ,   0

Nesse ponto nossa função de calor tem o seguinte valor

T 1 2 , 0 = 1 4 - 1 2  

=   - 1 4

Passo 3

Agora vamos usar o método de Lagrange. Vamos calcular o gradiente de g

g   :   x 2 + y 2 - 1 = 0

∇ g = 2 x , 2 y

Com isso nosso sistema é

2 x - 1 = λ 2 x

4 y = λ 2 y

  x 2 + y 2 - 1 = 0

Pela equação II podemos dizer que

λ = 2

Com isso, usando na equação I temos que :

2 x - 1 = 4 x

x =   - 1 2

Vamos usar esse valor na equação III

x 2 + y 2 - 1 = 0

1 4 + y 2 - 1 = 0

y =   ± 3 2

Com isso o valor desses pontos na nossa função é

T - 1 2 , 3 2 =   T - 1 2 , - 3 2

T - 1 2 , 3 2 = 1 4 + 2 3 4 + 1 2

T - 1 2 , 3 2 = 9 4

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Mínimo

T 1 2 , 0 =   - 1 4

Máximo

T - 1 2 , 3 2 =   T - 1 2 , - 3 2

= 9 4

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