Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 11
Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de multiplicador de Lagrange, vamos lá!
A questão nos dá a função e a restrição , e em seguida nos pede para determinar o valor máximo e mínimo da função usando multiplicadores de Lagrange!
Mas como fazemos isso?
O método de Lagrange propõe que: Para determinar os valores máximo e mínimo de uma função sujeita à restrição nós podemos usar a seguinte fórmula
Onde é o nosso multiplicador de Lagrange!
Assim, definindo o gradiente (as derivadas parciais) da função e das restrições, nós podemos procurar por valores de e que satisfaçam essa expressão!
Dessa forma, quando tivermos todos os pontos de interesse, o valor máximo e o mínimo serão, respectivamente, os pontos que tiverem maior e menor valor de !
Passo 2
A expressão que relaciona a função às restrições com os multiplicadores de Lagrange é
Onde e
Como o gradiente é o conjunto das derivadas parciais, então podemos reescrever isso como
Calculando essas derivadas parciais, encontramos
De forma que ficamos com o seguinte
Dessa expressão “matricial” obtemos o seguinte sistema de equações
E além disso, considerando a restrição também temos
Agora precisamos analisar esse sistema de equações para obter os pontos de interesse e avaliar quem são o máximo e o mínimo da função!
Passo 3
Temos o seguinte sistema
Da última equação nós percebemos que , e não podem ser nulos simultaneamente (já que a soma de suas potências é )! Então para essa primeira análise vamos considerar que todos esses valores sejam diferentes de zero!
Dessa forma, podemos reescrever as três primeiras equações como
Onde isso pode ser interpretado como
E se substituirmos isso na equação da restrição obtemos
Ou ainda
E como definimos anteriormente, temos então os seguintes pontos de interesse
Substituindo na função obtemos
Veja que independente do ponto ter os valores positivos ou negativos o nosso resultado é o mesmo.
Vamos guardar esse resultado por enquanto!
Passo 4
Anteriormente a gente considerou o caso onde , mas as equações que definimos com os multiplicadores de Lagrange também poderiam ser verdade caso uma ou duas dessas variáveis fossem nulas!
O importante é que as três variáveis não sejam nulas simultaneamente para que a quarta equação seja verdadeira!
Então vamos considerar agora o caso onde uma dessas variáveis (, e ) seja nula!
Como todas as equações são similares podemos escolher qualquer variável para realizar a nossa análise, então seja por exemplo
Dessa forma, teríamos somente
Ou
E substituindo na equação da restrição
E teríamos os pontos
Substituindo na função obtemos
Passo 5
Por último, vamos supor o caso onde duas das nossas variáveis sejam nulas!
Dessa forma, da equação da restrição teríamos
E teríamos os pontos
Substituindo na função obtemos
Dessa forma, com os valores que encontramos:
O ponto de máximo é
Onde
E o ponto de mínimo é
Onde
Resposta
Máximo
Mínimo