Cada um dos Exercícios 15-30 dá uma função f(x) e números L, x_0 e ε > 0 . Em cada caso, determine um intervalo aberto em torno de x_0 em que a desigualdade | f(x) - L | < epsilon seja verdadeira. Dê então um valor para δ > 0 tal que, para todo x satisfazendo 0 < |x - x0| < δ , a desigualdade | f(x) - L | < epsilon seja verdadeira.

20.

f(x) = raiz(x - 7), L = 4, x0 = 23, ϵ = 1

Passo 1

Primeira coisa que precisamos fazer é analisar a desigualdade

f x - L < ϵ

para sabermos que valores x pode adotar.

Então usando o que o enunciado nos da:

x - 7 - 4 < 1

- 1 < x - 7 - 4 < 1

- 1 + 4 < x - 7 - 4 + 4 < 1 + 4

3 < x - 7 < 5

3 2 < x - 7 < 5 2

9 + 7 < x < 25 + 7

16 < x < 32

Passo 2

Agora que sabemos o intervalo em que o x está, podemos analisar a inequação

0 < x   -   x 0 < δ

para descobrirmos o valor de δ .

- δ < x   -   x 0 < δ

A gente sabe o valor de x 0

- δ < x   -   23 < δ

- δ + 23 < x   < δ + 23

Vamos comparar os dois intervalos que achamos para x :

16 < x < 32     e     - δ + 23 < x   < δ + 23

Então:

- δ + 23 = 16

δ = 23 - 16

δ = 7

ou

δ + 23 = 32

δ = 32 - 23

δ = 9

Devemos escolher o menor δ encontrado, pois ele irá valer tanto para direita quanto para a esquerda.

δ = 7

Resposta

δ = 7

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