Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.4 - Ex. 36
Demonstre que
Passo 1
Para demonstrar o limite usando a definição formal, primeiro vamos começar manipulando a desigualdade:
Podemos reescrever essa expressão como:
Agora, queremos que
Se observarmos que está próximo de 2, então podemos assumir que , o que implica em (ou seja, está a uma distância de 1 de 2).
Vamos então considerar de forma que Isso significa que:
Como queremos garantir que esteja próximo de 2, podemos assumir que para que permaneça no intervalo
Então nosso foco deve ser em achar que permita essa relação ser válida!!!
Passo 2
Bom, se então
Então para que o limite exista, uma escolha que se mostrará suficiente é pois
Passo 3
Agora vamos de fato mostrar que essa escolha para é suficiente para demonstrar o limite!
Como então e
Se então
Assim, como segue (como vimos no passo 2) que
Além disso, como temos que Desta forma, temos que
Provamos assim que o limite existe e vale Vale mencionar que outras escolhas para também são possíveis para a demonstração.
Resposta
Demonstração.