Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.4 - Ex. 40
Comparando as definições 2,3 e 4, demosntre o teorema 1 da seção 2.3.
Passo 1
Opaaa... tudo bem?
O enunciado pede para demonstrarmos o teorema 1 da seção 2.3:
Para isso, precisamos recorrer as definições 2, 3 e 4 de limites dadas nesta seção. Vamos recordar essas definições:
Def. 2: se para todo , existe um tal que:
Def. 3: se para todo , existe um tal que
Def. 4: se para todo , existe um tal que
Basicamente, o que queremos provar é que o limite existe e vale se os limites laterais existirem e ambos valerem , e vice versa.
Passo 2
Como toda demonstração do tipo “se, e somente, se” (que envolve ), devemos provar tanto a “ida” () como a “volta” (). Neste passo vamos provar a “ida”, isto é,
Em outras palavras, vamos mostrar que se o limite existe e vale , os limites laterais vão existir e também vão valer ambos .
Da definição 2, se
Então
O que torna a condição dada pela definição 3 verdadeira: se , então .
Assim, se a condição dada pela definição 2 é satisfeita, a condição dada pela definição 3 também será satisfeita. Então,
Analogamente, como se , então , a definição 2 ser verdadeira implica na condição 4 ser verdadeira também. Assim,
Desta forma provamos a “ida”.
Passo 3
Agora vamos para a parte mais difícil: provar a “volta”! Queremos provar que se os limites laterais existem e são iguais a , então o limite vai existir e valer . Em linguagem matemática, queremos provar
Vamos considerar um dado . Se , existe um tal que
Analogamente, se , existe um tal que
Como nossa hipótese é de que os limites laterais existem e valem , sabemos que os números e existem!
Bom, se tomarmos como algum número menor que e , isto é, , então se , então ou .
Note como foi importante a escolha que garante que se , então ou está no intervalo ou está no intervalo .
Assim, se estiver em um dos dois intervalos (e sabemos que está), da hipótese de que os limites laterais existem e valem , segue que . Então, temos que
Mas isso é equivalente a mostrar que . Provamos a “volta”.
Como provamos a “ida” e a “volta”, demonstramos por completo o teorema!
Resposta
Demonstração.