Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.4 - Ex. 38
Se for a função de Heaviside definida no Exemplo 6 da seção 2.2, demonstre, usando a Definição 2, que não existe .
[Sugestão: Use uma demonstração indireta: suponha que o limite seja . Tome na definição de limite e tente chegar em uma contradição.]
Passo 1
Olá, meu amigo, Yuri aqui e irei te ajudar a resolver essa atividade de limites.
Queremos provar que o limite não existe onde é a função de Heaviside, definida por
Vemos que a função tem um “salto” em , então realmente é intuitivo pensar que o limite não existe, mas devemos provar isso rigorosamente usando a definição 2, que é a definição de limite, que diz que se, e somente se, para todo , existe um tal que se
então
.
Eu sei que você deve estar achando isso extremamente complicado e esquisito, mas basicamente, o que a definição diz é que para qualquer número positivo eu devo conseguir encontrar um (que possivelmente será função de ) tal que
.
Neste caso, queremos provar que o limite não existe, então basta achar um tal que eu não consiga achar um que satisfaça a condição: é exatamente isso que a sugestão dada no enunciado diz!!!
Vamos supor que o limite existe e vale e tomar um : quando formos tentar encontrar o vamos chegar numa contradição. Assim, nossa hipótese inicial que o limite existia e valia estava errada, e provaremos assim que o limite não existe.
Passo 2
Antes de qualquer coisa, vamos adaptar a definição de limite para o nosso caso. Para provar que o limite existe e vale , para todo , devo conseguir encontrar um tal que
Bom, agora vamos usar a sugestão: supondo que o limite existe e vale , a relação descrita acima teria que valer sempre. Se ela deveria valer para todo , em particular, ela deve valer para . Assim, deveria ser possível encontrar um tal que
Se , então
Passo 3
Então, pela nossa hipótese de que o limite existe e vale , deve existir um tal que
Para , temos que , de modo que
Por outro lado, para , , assim
Repare que chegamos numa contradição: como pode ser maior que e menor que ao mesmo tempo?
Assim, vemos que é impossível achar um tal que para todo valha a relação que define o limite pois para um particular ela não valeu!!!
Veja que provar que uma coisa não é verdade é mais fácil que provar que ela é verdadeira: basta achar um contraexemplo!!!
Resposta
Demonstração.