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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.3 - Ex. 21

Cada um dos Exercícios 15-30 dá uma função f ( x ) e números L ,   x 0   e   ϵ > 0 . Em cada caso, determine um intervalo aberto em torno de x 0 em que a desigualdade f x - L < ϵ seja verdadeira. Dê então um valor para δ > 0 tal que, para todo x satisfazendo 0 < | x   -   x 0 | < δ , a desigualdade f x - L < ϵ seja verdadeira.

21.

f x = 1 / x ,     L = 1 / 4 ,     x 0 = 4 ,     ϵ = 0,05

Passo 1

Primeira coisa que precisamos fazer é analisar a desigualdade

f x - L < ϵ

para sabermos que valores x pode adotar.

Então usando o que o enunciado nos da:

1 x - 1 4 < 0,05

- 0,05 < 1 x - 1 4 < 0,05

- 0,05 + 1 4 < 1 x < 0,05 + 1 4

0,2 < 1 x < 0,3

Vamos elevar tudo a - 1 , quando fazemo isso devemos mudar a desigualdade de menor para maior.

1 0 , 2 > x 1 > 1 0,3

1 0 , 3 < x < 1 0 , 2

10 3 < x < 5

Passo 2

Agora que sabemos o intervalo em que o x está, podemos analisar a inequação

0 < x   -   x 0 < δ

para descobrirmos o valor de δ .

- δ < x   -   x 0 < δ

A gente sabe o valor de x 0

- δ < x   -   4 < δ

- δ + 4 < x   < δ + 4

Vamos comparar os dois intervalos que achamos para x :

10 3 < x < 5       e     - δ + 4 < x   < δ + 4

Então:

- δ + 4 = 10 3

δ = 4 - 10 3

δ = 12 - 10 3

δ = 2 3

ou

δ + 4 = 5

δ = 1

Devemos escolher o menor δ encontrado, pois ele irá valer tanto para direita quanto para a esquerda.

δ = 2 3

Resposta

δ = 2 3

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Dado que lim x → 2 ⁡ f ( x ) = 4 lim x → 2 ⁡ g ( x ) = - 2 lim x → 2 ⁡ h ( x ) = 0 Encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique o por quê. lim x → 2 ⁡ [ f ( x ) + 5 g ( x ) ] lim x → 2 ⁡
Os gráficos de f e g são dados. Use-os para calcular cada limite. Caso não exista, explique o porquê. lim x → 2 ⁡ f x + g x lim x → 1 ⁡ f x + g x lim x → 0 ⁡ f x g x lim x → - 1 ⁡ f x g x lim x → 2 ⁡
Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos limites que forem usadas lim x → 8 ⁡ 1 + x 3 2 - 6 x 2 + x 3 .
Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.7) lim x → 1 ⁡ 1 + 3 x 1 + 4 x 2 + 3 x 4 3
O que há de errado com a equação a seguir? x 2 + x - 6 x - 2 = x + 3 Em vista de (a), explique por que a equação lim x → 2 ⁡ x 2 + x - 6 x - 2 = lim x → 2 ⁡ ( x + 3 ) está correta.