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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.1 - Ex. 14

Utilize o método de Euler para calcular as três primeiras aproximações do problema de valor inicial dado para o tamanho do incremento especificado. Calcule a solução exata e estude a precisão de suas aproximações. Arredonde até a quarta casa decimal.

y ' = y 2 ( 1 + 2 x )

y - 1 = 1 ; d x = 0 , 5

Passo 1

Galera, o método de Euler é um método onde encontramos um valor aproximado para as soluções de EDO em um pequeno intervalo em torno de x 0 . O enunciado pelo para calcular as três primeiras aproximações para o problema de Valor inicial dado:

Temos as seguintes informações:

y ' = y 2 ( 1 + 2 x )

y - 1 = 1 ; d x = 0,5

Então, vamos lá:

y 1 = y 0 + y 0 2 ( 1 - 2 x 0 ) d x

Vamos substituir os valores dados na questão, para encontrar y 1 ,

y 1 =   1 + 1 2 [ 1 + 2 - 1 0,5  

y 1 = 0,5

Agora, vamos utilizar os valores encontrados em y 1 para encontrar y 2 ,

y 2 = y 1 + y 1 2 (   1 + 2 x 1 )   d x

y 2 =   0,5 + 0,5 2 1 + 2 - 0,5 0,5  

y 2 =   0,5

Agora, vamos utilizar os valores encontrados em y 2 para encontrar y 3 ,

y 3 = y 2 + y 2 2 1 + 2 x 2 d x

y 3 = 0,5 + 0,5 2 1 + 2.0 0,5 = 0,625

Passo 2

Agora, vamos encontrar a solução exata:

Temos a seguinte equação :

y ' = y 2 ( 1 + 2 x )

Vamos reescrever a equação da seguinte forma:

d y y 2 = ( 1 + 2 x )   d x

Podemos utilizar o método das equações separáveis, vamos integrar em ambos os lados da equação:

∫ d y y 2 =   ∫ ( 1 + 2 x ) d x

- 1 y = x + x 2 + C

Passo 3

Para x = - 1 ; y = 1   temos:

- 1 =   - 1 + - 1 2 + C

C = - 1

Logo, 1 y = 1 - x - x 2

y =   1 1 - x - x 2

Passo 4

Agora, vamos verificar a precisão da aproximação:

y 0 , 5 ≅ 1 1 - 0,5 - 0,5 2 ≅ 4

Resposta

y y 0,5 ≅ 4

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