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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 72

Cada um dos Exercícios 59-80 fornece a primeira derivada de uma função contínua y = f(x). Determine y" e então use os passos 2-4 do procedimento para construção de gráficos da página 237 para esboçar a forma geral do gráfico de f.

72-

y ' = 1 - c o t g 2   θ

0 < θ < π

Passo 1

Fazendo y ' = 0 para encontrarmos os pontos críticos da função nós teremos:

1 - c o t g 2 θ = 0

c o t g 2 θ = 1

c o t g θ = ± 1

cos ⁡ θ sin ⁡ θ = ± 1

Só temos o seno igual ao módulo do cosseno no intervalo entre 0 e π para θ = π / 4 e θ = 3 π 4

Passo 2

Fazendo a segunda derivada dessa função para encontrarmos se os pontos que encontramos são pontos de máximo ou mínimo e se a expressão possui pontos de inflexão:

y ' ' = 0 - ( c o t g 2 θ ) '

y ' ' = - 2 c o t g   θ × ( cos ⁡ θ ) ' s i n ⁡ θ - c o s ⁡ θ ( s i n θ ) ' sin 2 ⁡ θ

y ' ' = - 2   c o t g   θ × - sin 2 ⁡ θ - cos 2 ⁡ θ   sin 2 ⁡ θ = 2   c o t g   θ   c o s s e c 2 θ

Passo 3

Testando os valores de θ que encontramos no passo 1 temos:

Para θ = π 4

y ' ' π 4 = 2 × c o t g π 4 × c o s s e c 2 π 4 = 4 → p o s i t i v o

Logo π 4 representa um ponto de mínimo local.

Para θ = 3 π 4

y ' ' 3 π 4 = 2 × c o t g 3 π 4 × c o s s e c 2 3 π 4 = - 4 → n e g a t i v o

Logo 3 π 4 representa um ponto de máximo local.

Agora fazendo y ' ' = 0 para encontrarmos os pontos de inflexão temos:

2 c o t g   θ   c o s s e c 2 θ = 0

Como c o s s e c 2   θ nunca será zero, somente a c o t g θ será zero.

Logo:

cos ⁡ θ sin ⁡ θ = 0

No intervalo de 0   a π   somente no ponto θ = π 2 que essa expressão será zero pois o cos ⁡ π 2 = 0 . Tendo então nosso ponto de inflexão

Passo 4

Organizando nosso intervalos nós teremos:

Pontos de Teste: 0.5, 1, 2, 3

Resposta

y ' ' =   2   c o t g   θ   c o s s e c 2 θ

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Trace ou copie o gráfico da função f dada. (Suponha eixos com a mesma escala.) Use então o método do Exemplo 1 para esboçar o gráfico de f ' .
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Trace ou copie o gráfico da função f dada. (Suponha eixos com a mesma escala.) Use então o método do Exemplo 1 para esboçar o gráfico de f ‘ .
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