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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 69

Cada um dos Exercícios 59-80 fornece a primeira derivada de uma função contínua y = f(x). Determine y" e então use os passos 2-4 do procedimento para construção de gráficos da página 237 para esboçar a forma geral do gráfico de f.

69-

y ' = c o t g θ 2

0 < θ < 2 π

Passo 1

Fazendo y ' = 0 para encontrar os pontos críticos.

c o t g θ 2 = 0

cos ⁡ θ 2 sin ⁡ θ 2 = 0

Para cos ⁡ θ 2 ser 0 temos:

θ 2 = π 2 ± k π

Então:

θ = π ± k π

Como θ é limitado entre 0 e 2 π logo θ = 2 π

Passo 2

Fazendo a derivada segunda dessa função nós temos:

y ' ' = c o t g θ 2 '

y ' ' = cos ⁡ θ 2 sin ⁡ θ 2 ' = ( cos ⁡ θ 2 )   ' ( sin ⁡ θ 2 ) - ( cos ⁡ θ 2 ) ( sin ⁡ θ 2 ) ' sin 2 ⁡ θ 2 = - 1 2 sin ⁡ θ 2 sin ⁡ θ 2 - 1 2 cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 sin 2 ⁡ θ 2

y ' ' = - 1 2 sin 2 ⁡ θ 2 = - 1 2 c o s s e c 2 θ 2  

Passo 3

Utilizando essa equação para encontrar os pontos de máximo e mínimo e os de inflexão nós temos:

Para θ = π :

y ' ' π = - 1 2 sin 2 ⁡ π 2 = - 1 2 × 1 2 → n e g a t i v o

Logo para θ = π nós temos um ponto de máximo local e com concavidade para baixo

Como o numerador da nossa derivada segunda é uma constante não tem como ter θ que dê um ponto de inflexão ou singularidade.

Passo 4

Organizando nossos intervalos nós temos:

Valores de teste: π 2 ,   3 π 2

Resposta

y ' ' = - 1 2 c o s s e c 2 θ 2

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