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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.2 - Ex. 21

Nos Exercícios de 21 a 24, a região é limitada pelas curvas x = y 2 - 2 e x = 6 - y 2 gira em torno do eixo indicado. Ache o volume do sólido gerado.

21. o eixo x

Passo 1

Primeiro vamos ver como fica a região.

Como essa região está girando em torno do eixo x , nossa casca cilíndrica imaginária estaria na horizontal e a espessura da casca cilíndrica é dy, então temos que:

d V = 2 π r h ⋅ d y

Então como o d V depende de d y precisamos achar r e h em termos de y.

Assim:

r = y           h = 6 - y 2 - ( y 2 - 2 )

Mas antes de vermos como a integral para calcular o volume fica, podemos perceber que essa figura é simétrica em relação ao eixo de rotação (x no caso), assim basta avaliar somente a parte superior em rotação, que teremos o mesmo resultado.

Logo:

V = 2 π ∫ 0 2 y ⋅ [ 6 - y 2 - y 2 - 2 ] d y

= 2 π ∫ 0 2 y ⋅ 8 - 2 y 2 d y

Os limites de integração são esses já que y na parte superior varia de 0 a 2 na região limitada.

Passo 2

Agora vamos resolver a integral.

V = 2 π ∫ 0 2 y ⋅ 8 - 2 y 2 d y

= 2 π ∫ 0 2 ( 8 y - 2 y 3 )   d y

= 2 π 8 ∫ 0 2 y   d y - 2 ∫ 0 2 y 3 d y

= 2 π 8 y 2 2 0 2 - 2 y 4 4 0 2

= 2 π 8 1 2 2 2 - 0 - 2 1 4 2 4 - 0

= 2 π ( 16 - 8 )

= 2 π 8 = 1 6 π

Resposta

V = 16 π

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