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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.2 - Ex. 19

Na Figura abaixo, a região limitada pelo eixo x, pela reta x = 1 e pela curva y = x 2 é denotada por R1; a região limitada pelas curvas y = x 2 e y 2 = x é denotada por R2; a região limitada pelo eixo y, pela reta y = 1 e pela curva y 2 = x é denotada por R3. Nos Exercícios de 13 a 20, ache o volume do sólido gerado pela rotação da região indicada em torno da reta dada.

19. R2 gira em torno da reta x = - 2 ; os elementos retangulares são paralelos ao eixo de revolução.

Passo 1

Região R2:

Pode se ter uma ideia do que o enunciado quis dizer com elemento retangular nas figuras 7 e 9 no capítulo 6, seção 2 do livro.

O enunciado pede que os elementos retangulares sejam paralelos ao eixo da reta x = - 2 de rotação, implica que teremos que usar o método das cascas cilíndricas, então nossa casca cilíndrica estaria na vertical e a espessura da casca cilíndrica é dx, então temos que:

d V = 2 π r h ⋅ d x

Então como o d V depende de d x precisamos achar r e h em termos de x.

Assim:

r = x - ( - 2 )         h = x - x 2

Logo:

V = 2 π ∫ 0 1 ( x + 2 ) ⋅ ( x - x 2 ) d x

Os limites de integração são esses já que x varia de 0 a 1 na região R2 limitada.

Passo 2

Agora vamos resolver a integral.

V = 2 π ∫ 0 1 ( x + 2 ) ⋅ ( x - x 2 ) d x

= 2 π ∫ 0 1 x 3 2 - x 3 + 2 x 1 2 - 2 x 2 d x

= 2 π ∫ 0 1 x 3 2 d x - ∫ 0 1 x 3 d x + 2 ∫ 0 1 x 1 2 d x - 2 ∫ 0 1 x 2 d x

= 2 π 2 5 x 5 2 0 1 - x 4 4 0 1 + 2 2 3 x 3 2 0 1 - 2 x 3 3 0 1

= 2 π 2 5 1 - 0 - 1 4 ( 1 - 0 ) + 2 2 3 1 - 0 - 2 1 3 1 - 0

= 2 π 2 5 - 1 4 + 4 3 - 2 3

= 2 π 49 60 = 49 π 30  

Resposta

V = 49 30 π

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Seja g x =tan 2 ⁡ x x 1 0 , x ≤ π 4 Mostre que x g x = ( tan ⁡ x ) 2; 0 ≤ x ≤ π 4 Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região sombreada em torno do eixo y na figura a seguir:
Use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir: y = x ; y = 2 x ; y = 2
Seja f x =sin ⁡ x x 1 0 , x ≤ π Mostre que x f x = sin ⁡ x0x ≤ π Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região sombreada em torno do eixo y na figura a seguir:
Use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir: x =y; x = - y ; y = 2
Use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir: x =2 y - y 2 ; x = 0