Cada integral representa o volume de um sólido. Descreva o sólido.

π ∫ 0 π / 2 cos ² ⁡ x . d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que descrever o solido formado pela integral

π ∫ 0 π / 2 cos ² ⁡ x . d x

Muito bem galera, antes de começar vamos lembrar como se calcula o volume de um sólido de rotação:

V = ∫ a b A x . d x

Então qual a área da figura que irá rotacionar?

Bora lá!

Passo 2

Para saber vamos reorganizar o volume que o problema nos deu:

V = ∫ 0 π / 2 π cos ² ⁡ x . d x

Então a área é dada por:

A x = π cos ² ⁡ x

Vamos com calma! Essa área nos dá mais uma informação. Quando calculamos a área nós subtraímos a função do seu eixo de rotação, ao quadrado:

A x = π ( f x - e i x o ) ²

Podemos concluir então que:

E i x o :     y = 0

E

f x = cos ⁡ x

Concluímos então que o sólido é originado pela rotação da função cos ⁡ x sobre o eixo x.

Então, a região R delimitada aqui é:

R = x ,   y 0 ≤ x ≤ π 2 ,   0 ≤ y ≤ cos ⁡ x }  

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

R = x ,   y 0 ≤ x ≤ π 2 ,   0 ≤ y ≤ cos ⁡ x }  

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