Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.3 - Ex. 49
(a) Encontre as assíntotas vertical e horizontal.
(b) Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
(c) Encontre os valores máximos e mínimos locais.
(d) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(e) Use a informação das partes (a)-(d) para esboçar o gráfico de .
Passo 1
Oiee, bora resolver essa comigo?
Vamos resolver cada parte da questão para a função
(a) Assíntotas Verticais e Horizontais
Para encontrar as assíntotas verticais, analisamos onde a função é indefinida ou diverge para infinito.
1. A função é indefinida para .
2. A função deve ser positiva para que seja definida.
Portanto:
Além disso, para que seja definida.
Portanto, a função é definida no intervalo
Como temos e
Então, existe uma assíntota vertical em
Assíntotas Horizontais
Para verificar as assíntotas horizontais, analisamos o comportamento da função quando
Como e, portanto, .
Portanto, à medida que
Não há assíntotas horizontais.
Passo 2
(b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento
Para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, encontramos a derivada de
Usando a regra da cadeia:
Para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento, analisamos o sinal de
- Para , então
Portanto, a função é decrescente em
Passo 3
(c) Valores Máximos e Mínimos Locais
Como a função é decrescente em todo o intervalo não há valores máximos ou mínimos locais.
Passo 4
(d) Intervalos de Concavidade e Pontos de Inflexão
Para determinar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão, encontramos a segunda derivada
Usando a regra do quociente e a regra do produto:
Simplificando:
Passo 5
Para determinar a concavidade:
- indica concavidade para cima.
- indica concavidade para baixo.
Como é um pouco complexo, analisamos numericamente os sinais de :
- Para é negativo, tornando
- Para é positivo, tornando .
Portanto:
- A função é côncava para baixo em
- A função é côncava para cima em
O ponto de inflexão é em
Passo 6
Assíntotas:
- Vertical:
- Horizontal: Nenhuma
Intervalos de Crescimento e Decrescimento:
- Decrescente:
Valores Máximos e Mínimos Locais:
- Nenhum
Intervalos de Concavidade e Pontos de Inflexão:
- Côncava para baixo:
- Côncava para cima:
- Ponto de inflexão:
Passo 7
(e) Esboço do Gráfico
Com base nas informações:
- A função tem uma assíntota vertical em
- A função é decrescente em
- A função é côncava para baixo em e côncava para cima em
Resposta
Vide o passo a passo.