Em cada item, determine onde f é diferenciável.

f(x) = 1 / (1 + cos(x))

Passo 1

Para uma função ser diferenciável em um ponto, vemos se a função é contínua no ponto e se a derivada dela é contínua nesse ponto.

Como queremos dizer onde nossa função é diferenciável, podemos ver onde isso não acontece, a partir dessas duas condições. Beleza? Vamos lá!

Passo 2

Olhando a primeira condição:

f x = 1 1 + cos ⁡ x

Como isso é uma fração, sabemos que o denominador precisa ser diferente de 0 , para a função estar definida. Então:

1 + cos ⁡ x ≠ 0 ∴ cos ⁡ x ≠ - 1 ∴ x ≠ 2 n + 1 π

Sendo n um número inteiro. Daí a gente vê que nossa função não é diferenciável nesse conjunto de pontos.

Passo 3

Se olharmos para a derivada, usando a regra do quociente:

f ' x = 0 ⋅ 1 + cos ⁡ x - 1 + cos ⁡ x ' 1 + cos ⁡ x 2 = s e n   x 1 + cos ⁡ x 2

Temos o mesmo problema   1 + cos ⁡ x ≠ 0 , por estarmos trabalhando com uma fração. Por isso dizemos que nossa função é diferenciável para:

x ≠ 2 n + 1   π ,     n = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 , …

Resposta

f ( x ) é diferenciável para x ≠ 2 n + 1 π   ,     n = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 , …

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