Em cada item, determine onde f é diferenciável.

f(x) = 1 / (1 + cos(x))

Passo 1

Para uma função ser diferenciável em um ponto, vemos se a função é contínua no ponto e se a derivada dela é contínua nesse ponto.

Como queremos dizer onde nossa função é diferenciável, podemos ver onde isso não acontece, a partir dessas duas condições. Beleza? Vamos lá!

Passo 2

Olhando a primeira condição:

f (x) = (1)/(1 + cos x)

Como isso é uma fração, sabemos que o denominador precisa ser diferente de 0 , para a função estar definida. Então:

1 + cos x != 0 :. cos x != - 1 :. x != (2 n + 1) pi

Sendo n um número inteiro. Daí a gente vê que nossa função não é diferenciável nesse conjunto de pontos.

Passo 3

Se olharmos para a derivada, usando a regra do quociente:

f^' (x) = (0 * (1 + cos x) - (1 + cos x) ')/((1 + cos x)^2) = (s e n x)/((1 + cos x)^2)

Temos o mesmo problema 1 + cos x != 0 , por estarmos trabalhando com uma fração. Por isso dizemos que nossa função é diferenciável para:

x != (2 n + 1) pi , n = 0 , +- 1 , +- 2 , ...

Resposta

f ( x ) é diferenciável para x != (2 n + 1) pi , n = 0 , +- 1 , +- 2 , ...

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