Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.7 - Ex. 42
Cada limite representa a derivada de certa função em certo numero .Diga o que são e em cada caso.
Passo 1
Fala aí, meus amores! Como anda a vida?
Essa questãozinha pede pra darmos uma olhada nesse limite aqui:
Cuidado pra não sair resolvendo o limite direto. Não é isso que a questão pede!
O enunciado fala que esse limite representa a derivada de uma certa função em um certo ponto . O que precisamos fazer é descobrir que função e qual ponto é esse.
Agora foca nesse bizu aqui! Vamos lembrar dessa definição da derivada:
Os dois limites tem uma carinha parecida, né? Então vamos tentar comparar os dois pra encontrar o que precisamos!
Vamos lá!
Passo 2
Pra facilitar as coisas, vamos colocar os dois limites juntinhos:
A primeira coisa que observamos é que o limite dado está em termos da variável , enquanto que a definição da derivada está em função de .
Isso não faz diferença, mas pra não confundirmos, vamos deixar todo mundo em função da mesma variável . Reescrevendo, temos:
Vamos começar olhando pro denominador. Comparando visualmente, podemos dizer que:
Legal! Agora vamos dar uma olhada no numerador. Novamente, comparando visualmente conseguimos perceber que:
Como já sabemos que , podemos checar se essas afirmações estão coerentes. Olha só:
Boa! As afirmações estão compatíveis e conseguimos descobrir o que queríamos:
Partiu próximo exercício!