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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.7 - Ex. 41

Cada limite representa o derivativo de alguma função f em algum numero a . Encontre f   e   a em cada caso.

lim ⁡ h → 0   ⁡ cos ⁡ ( π + h ) + 1 h

Passo 1

Opa, e aí?! Aqui temos o limite que representa f ' ( x ) de uma função f x desconhecida:

lim ⁡ h → 0   ⁡ cos ⁡ ( π + h ) + 1 h

Aqui a gente precisa achar quem é f a e a ! Pra isso a gente tem que ter em mente a definição 4, temos:

f ' a = l i m h → 0 f a + h - f a h

Pra descobrir quem é quem a gente vai comparar o limite dado com a definição 4 ! Bora lá?!

Passo 2

Comparando com a equação do enunciado:

l i m h → 0 f a + h - f a h → lim ⁡ h → 0   ⁡ cos ⁡ ( π + h ) + 1 h

Pelo formatinho, podemos deduzir que:

a = π

Também temos que:

f a + h = cos ⁡ a + h

Então:

f a = cos ⁡ a

Podemos confirmar calculando f π que aqui deve ser igual a - 1 , pra bater com a função ali de cima:

f π = cos ⁡ π = - 1

Bateu certinho! Então temos:

f a = cos ⁡ a

a = π

Prontinho!

Resposta

f a = cos ⁡ a

a = π

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