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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.7 - Ex. 36

36. Prove que o centroide de um triângulo é o ponto de interseção das três medianas do triângulo. [Sugestão. Escolha as coordenadas de tal modo que os vértices do triângulo estejam localizadas em ( 0 , - a ) , ( 0 , a ) e ( b , c ) ] .

Passo 1

Nessa questão, vamos começar desenhando esse triângulo, pois assim veremos qual fórmula do centroide usar.

Vamos utilizar a fórmula abaixo dos centroides:

x - = 1 á r e a   d e   R ∫ a b x f x - g ( x ) d x

y - = 1 á r e a   d e   R ∫ a b 1 2 f 2 ( x ) - g 2 ( x ) d x

E lembrando que o ponto de encontro das medianas nesse triângulo é dada por:

G 0 + 0 + b 3 , - a + a + c 3 = G b 3 , c 3

Passo 2

Vamos começar descobrindo as funções que delimitam o triângulo!

A reta B C vai do ponto ( 0 , a ) até ( b , c ) . Então a função da reta A B é:

f x = c - a b x + a

E a reta A C vai do ponto ( 0 , - a ) até ( b , c ) . Então a função da reta A C :

g x = c + a b x - a

Vamos calcular a área desse triângulo pela integral:

Á r e a = ∫ 0 b f x - g ( x ) d x = ∫ 0 b c - a b x + a - c + a b x - a d x = ∫ 0 b c - a b x - c + a b x + 2 a d x

Paramos nessa integral:

Á r e a = ∫ 0 b c - a b x - c + a b x + 2 a d x = ∫ 0 b c - a b x d x - ∫ 0 b c + a b x d x + ∫ 0 b 2 a d x

Fazendo individualmente cada integral:

∫ 0 b c - a b x d x = c - a b ∫ 0 b x d x = c - a b × x 2 2 b 0 = c - a b × b 2 2 = b c - b a 2

∫ 0 b c + a b x d x = c + a b ∫ 0 b x d x = c + a b x 2 2 b 0 = c + a b × b 2 2 = b c + b a 2

∫ 0 b 2 a d x = 2 a ∫ 0 b d x = 2 a x b 0 = 2 a b

Voltando para a expressão da área:

Á r e a = b c - b a 2 - b c + b a 2 + 2 a b = - a b + 2 a b = a b

Passo 3

Vamos agora fazer o centroide em x .

x - = 1 a b ∫ 0 b x f x - g ( x ) d x = 1 a b ∫ 0 b x c - a b x + a - c + a b x - a d x = 1 a b ∫ 0 b c - a b x 2 - c + a b x 2 + 2 a x d x

Paramos nessa integral aqui:

x - = 1 a b ∫ 0 b c - a b x 2 - c + a b x 2 + 2 a x d x

= 1 a b ∫ 0 b c - a b x 2 d x - 1 a b ∫ 0 b c + a b x 2 d x + 1 a b ∫ 0 b 2 a x d x

Fazendo individualmente cada integral:

∫ 0 b c - a b x 2 d x = c - a b ∫ 0 b x 2 d x = c - a b × x 3 3 b 0 = c - a b × b 3 3 = b 2 c - b 2 a 3

∫ 0 b c + a b x 2 d x = c + a b ∫ 0 b x 2 d x = c + a b × x 3 3 b 0 = c + a b × b 3 3 = b 2 c + b 2 a 3

∫ 0 b 2 a x d x = 2 a ∫ 0 b d x = 2 a x 2 2 b 0 = a b 2

Voltando para a integral do centroide.

x - = 1 a b b 2 c - b 2 a 3 - 1 a b b 2 c + b 2 a 3 + 1 a b   a b 2 = b c - b a 3 a - b c + b a 3 a + b = - 2 b a 3 a + b = - 2 b 3 + b = b 3

E vamos fazer agora o centroide em y .

y - = 1 a b ∫ 0 b 1 2 c - a b x + a 2 - c + a b x - a 2 d x =

= 1 a b ∫ 0 b 1 2 c - a 2 b 2 x 2 + 2 a c - a 2 b x + a 2 - c + a 2 b 2 x 2 + 2 a c + a 2 b x - a 2 d x =

= 1 2 a b ∫ 0 b c - a 2 b 2 x 2 - c + a 2 b 2 x 2 + 4 a c b x d x =

= 1 2 a b ∫ 0 b c - a 2 b 2 x 2 d x - 1 2 a b ∫ 0 b c + a 2 b 2 x 2 d x + 1 2 a b ∫ 0 b 4 a c b x d x

Vamos fazer essas integrais individualmente:

∫ 0 b c - a 2 b 2 x 2 d x = c - a 2 b 2 ∫ 0 b x 2 d x = c 2 - 2 a c + a 2 b 2 x 3 3 b 0 = c 2 - 2 a c + a 2 b 2 b 3 3 = b c 2 - 2 a b c + a 2 b 3

∫ 0 b c + a 2 b 2 x 2 d x = c + a 2 b 2 ∫ 0 b x 2 d x = c 2 + 2 a c + a 2 b 2 x 3 3 b 0 = c 2 + 2 a c + a 2 b 2 b 3 3 = b c 2 + 2 a b c + a 2 b 3

∫ 0 b 4 a c b x d x = 4 a c b ∫ 0 b x d x = 4 a c b x 2 2 b 0 = 4 a b c 2 = 2 a b c

Voltando para a integral, temos:

y - = 1 2 a b × b c 2 - 2 a b c + a 2 b 3 - 1 2 a b × b c 2 + 2 a b c + a 2 b 3 + 1 2 a b × 2 a b c = c 2 - 2 a c + a 2 6 a - c 2 + 2 a c + a 2 6 a + c = - 4 a c 6 a + c = 2 a c 6 a = c 3

Então o centroide é:

b 3 , c 3

E o encontro das medianas também é:

b 3 , c 3

Então o centroide é ponto de encontro das medianas.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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