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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.7 - Ex. 35

35. Encontre o centroide do triângulo de vértices ( 0,0 ) , ( a , b ) e ( a , - b ) .

Passo 1

Nessa questão, vamos começar desenhando esse triângulo, pois assim veremos qual fórmula do centroide usar.

Vamos utilizar a fórmula abaixo dos centroides:

x - = 1 á r e a   d e   R ∫ a b x f x - g ( x ) d x

y - = 1 á r e a   d e   R ∫ a b 1 2 f 2 ( x ) - g 2 ( x ) d x

Passo 2

Vamos começar descobrindo as funções que delimitam o triângulo!

A reta A B vai do ponto ( 0,0 ) até ( a , b ) . Então a função da reta A B é:

f x = b a x

E a reta A C vai do ponto ( 0,0 ) até ( a , - b ) . Então a função da reta A C :

f x = - b a x

Vamos calcular a área desse triângulo pela integral:

Á r e a = ∫ 0 a f x - g ( x ) d x = ∫ 0 a b a x - - b a x d x = ∫ 0 a 2 b a x d x = 2 b a x 2 2 a 0 = 2 b a × a 2 2 = a b

Passo 3

Vamos agora fazer o centroide em x .

x - = 1 a b ∫ 0 a x b a x - - b a x d x = 1 a b ∫ 0 a x 2 b a x d x = b a 2 b ∫ 0 a x 2 d x = 1 a 2 ∫ 0 a x 2 d x

Paramos nessa integral aqui:

x - = 1 a 2 ∫ 0 a x 2 d x = 1 a 2 x 3 3 a 0 = 1 a 2 a 3 3 = a 3

Vamos agora para a coordenada do centroide em y :

y - = 1 a b ∫ 0 a 1 2 b a x 2 - - b a x 2 d x = 1 2 a b ∫ 0 a b 2 a 2 x 2 - b 2 a 2 x 2 d x = 1 2 a b ∫ 0 a 0 d x = 0

Então as coordenadas do centroide é:

a 3 , 0

Resposta

a 3 , 0

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