Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.5 - Ex. 18
18. Em cada parte, calcule a integral, sabendo que:
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Vamos lá!! Vou primeiro desenhar o gráfico dessa função.
Sendo a parte em azul, a função.
E a parte vermelha, a função .
A ideia para fazermos essa questão será fazer a área das regiões destacadas e a área da região vai ser numericamente igual a integral!!
Vamos lá!
Passo 2
Vamos para a letra a)
Precisamos achar a área que está em destaque, que vai de até .
Temos que calcular a área desse triângulo retângulo em verde, que é a multiplicação dos dois catetos.
O primeiro cateto vai de até , então tem comprimento igual a .
O segundo cateto vai de até , então tem comprimento igual a .
Como a integral é numericamente igual a área, temos:
Agora vamos para a letra b)
Temos que destacar a área que vai de a , então fica assim:
Sabemos a área do triângulo em verde, então só vamos calcular a área do triângulo em roxo e somar essas duas áreas:
Temos que calcular a área do triângulo retângulo em roxo, e sabendo que essa área com sinal é negativa, que é a multiplicação dos dois catetos.
O primeiro cateto vai de até , então tem comprimento igual a .
O segundo cateto vai de até , então tem comprimento igual a .
Como a integral é numericamente igual a área, e somando a área do triângulo em verde com a área do triângulo em roxo:
No passo 3, deixarei para fazer a c) e a d)
Passo 3
Vamos para a letra c)
A área destacada é de até , então é assim:
Temos que calcular a área desse retângulo , que é a multiplicação da base vezes a altura.
A base vai de até , então tem comprimento igual a .
A altura vai de até , então tem comprimento igual a.
Como a integral é numericamente igual a área, temos que:
Agora para terminarmos ufaaaa! Vamos para a letra d)
Na letra d), temos que o intervalo é de até , então destacando a área no gráfico, temos:
A região em azul é um trapézio, a área do trapézio é dada por
A base menor vai de até , então a base menor mede .
A base maior vai de até , então a base maior mede .
E a altura vai de até , então a altura mede .
Agora calculando a área do retângulo, que é dada por .
A base vai de até , então mede .
A altura vai de até 2, então mede .
Agora para calcularmos a integral precisamos somar essas duas áreas!
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)