Seja contínua em . Mostrar que:

1. Se é par, então .
2. Se é ímpar, então .

Vamos lá! Nosso primeiro passo é relembrar o que é uma função par. Uma função par é aquela que satisfaz a seguinte relação:

Continuando com a nossa integral, temos:

Nosso trabalho então é provar que:

Vamos trabalhar com a primeira integral então. Relembrando a definição de função par, temos:

Agora, vamos fazer uma substituição de variáveis. Se , então, . Quando , . Já quando , . Portanto, temos:

Invertendo a ordem de integração, temos:

Agora, vamos fazer uma outra mudança de variável. Vamos voltar para a variável . Para isto, fazemos . Consequentemente, . Quando , ; já quando , . Portanto,

E assim acabamos de provar que:

O que implica provar a relação inicial da questão!