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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.11 - Ex. 2a

Sem calcular a integral, verificar as seguintes desigualdade:

∫ 1 3 3 x 2 + 4 d x ≥ ∫ 1 3 2 x 2 + 5 d x

Passo 1

Primeiramente temos que nos lembrar de umas regras muito importantes de integração que é:

∫ b a f x + g ( x ) d x = ∫ b a f ( x ) d x +   ∫ b a g ( x ) d x

E

∫ b a c ( f x ) d x = c ∫ b a f ( x ) d x

Temos também que nos atentar para um método muito importante quando você quer provar algo em matemática que é o método de demonstração por absurdo, ou seja, supomos nossa hipótese verdadeira e manipulamos algebricamente até chegarmos numa verdade ou em algo contraditório.

Passo 2

Visto isso, vamos resolver nossa questão ...

Desmembrando os 2 lados da nossa inequação ..

∫ 1 3 3 x 2 d x + ∫ 1 3 4 d x   ≥ ∫ 1 3 2 x 2 d x + ∫ 1 3 5 d x ⇔

⇔ 3 ∫ 1 3 x 2 d x - 2 ∫ 1 3 x 2 d x + 4 ∫ 1 3 d x -   5 ∫ 1 3 d x ≥ 0   ⇔

⇔ ∫ 1 3 x 2 d x -   ∫ 1 3 d x ≥ 0   ⇔

⇔ ∫ 1 3 ( x 2 - 1 ) d x ≥ 0  

Passo 3

Seja f x =   x 2 - 1   essa função tem raízes 1 e -1 e concavidade para cima, logo para x ≥ 1   essa função é positiva e como nosso intervalo de integração é de [ 1,3 ] o valor da integral será positivo. Portanto é verdadeira a inequação.

Resposta

Verdadeira

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