- Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que, se for diferenciável em um intervalo aberto, e se em cada do intervalo, então
Com quaisquer e do intervalo.
- Use o resultado de (a) para mostrar que
Com quaisquer e do intervalo.
Para todos os valores reais de e .
Passo 1
(a) Precisamos usar o Teorema do Valor Médio:
Para provar a inequação do enunciado. Vem comigo!
Passo 2
Considerando que e pertencem ao mesmo domínio , podemos escrever que para um valor que também pertence a , o teorema do valor médio pode ter essa carinha:
Jogando para o lado esquerdo:
Jogando o módulo dos dois lados:
Como , podemos escrever:
Que era o que precisávamos provar.
Passo 3
(b) A gente já provou que
E pelo enunciado, temos que . Mas quem é ?
é o valor máximo que a derivada de pode atingir. Vamos achar esse valor. Calculando a derivada:
Essa função está sempre entre e , por isso o valor máximo que temos na derivada é . Logo, , e:
Resposta
Prova nos passos