- Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que, se for diferenciável em um intervalo aberto, e se em cada do intervalo, então
Com quaisquer e do intervalo.
- Use o resultado de (a) para mostrar que
Com quaisquer e do intervalo.
Para todos os valores reais de e .
Passo 1
(a) Precisamos usar o Teorema do Valor Médio:
Para provar a inequação do enunciado. Vem comigo!
Passo 2
Considerando que e pertencem ao mesmo domínio , podemos escrever que para um valor que também pertence a , o teorema do valor médio pode ter essa carinha:
Jogando para o lado esquerdo:
Jogando o módulo dos dois lados:
Como , podemos escrever:
Que era o que precisávamos provar.
Passo 3
(b) A gente já provou que
E pelo enunciado, temos que . Mas quem é ?
é o valor máximo que a derivada de pode atingir. Vamos achar esse valor. Calculando a derivada:
Essa função está sempre entre e , por isso o valor máximo que temos na derivada é . Logo, , e:
Resposta
Prova nos passos
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Verifique se a função satisfaz às hipóteses do teorema do valor médio no intervalo dado e ache todos os valores que satisfaçam a conclusão.f(x) = x³ - 3x + 2, [-2, 2] ³
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Verifique se a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio:f(x) = e^(-2x), [0,3]