Em cada parte, encontre todos os pontos críticos e use o teste da derivada primera para classifica-los em máximos ou mínimos relativos, ou nenhum dos dois.

(a) f(x) = x^(1/3) * (x - 7)^2

Passo 1

  1. Considerando a função:

f x = x 1 3 x - 7 2

Para aplicar o teste da primeira derivada, devemos derivar a função e encontrar os pontos críticos, para posteriormente fazer a classificação.

Vamos derivar a função aplicando a Regra do Produto:

f ' x = 1 3 x - 2 3 x - 7 2 + 2 x - 7 . x 1 / 3 = 7 x 2 - 56 x + 49 3 x 2 / 3

A primeira raiz do problema é na indeterminação quando x = 0 , tornando a função não definida no ponto.

As próximas raízes são quando zeram o numerador, onde:

7 x 2 - 56 x + 49 = 0    

Dividindo ambos os lados da equação por 7:

x 2 - 8 x + 7 = 0    

Resolvendo a equação de segundo grau:

x = - b ±   b 2 - 4 a c 2 a = - ( - 8 ) ±   ( - 8 ) 2 - 4 . 1 . ( 7 ) 2 . 1

x ' = 7

x ' ' = 1

Passo 2

Agora, devemos analisar o sinal das raízes:

x = 0 x = 1 x = 7

Vamos analisar o sinal entre cada sub intervalo encontrado :

Relembrando os conceitos aprendidos no exercício 23 do capítulo de Revisão:

Dessa forma temos como máximo Relativo x = 1 . Já o mínimo relativo é dado por x = 7 .

Resposta

Máximo Relativo x = 1 .

Mínimo Relativo x = 7 .

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