Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.4 - Ex. 34
Encontre todos os valores de nos quais a reta tangente à curva dada satisfaz a propriedade enunciada.
; perpendicular à reta .
Passo 1
Para que a reta tangente à curva seja perpendicular à reta , seu coeficiente angular deve ser menos o coeficiente angular da reta, ou seja, o oposto, certo? No caso, o coeficiente deve ser .
Como o coeficiente angular da reta tangente à curva é a derivada da mesma curva, temos que a derivada de é . Então, vamos achar todos os valores de em que a derivada de seja !
Passo 2
Temos que:
Derivando, pela regra do quociente:
Show, agora temos a derivada de .
Passo 3
Para quais valores de a derivada da função será ? Nós temos que:
Olhando com cuidado, vemos de cara que , pois se fosse zeraria o denominador e não queremos isso.
Olhando de novo, temos que igualar a derivada a ! Logo:
Opa, temos uma equação do segundo grau. Só precisamos resolver essa equação para achar os pontos onde a derivada de é . Para isso, usaremos Bhaskara:
Com isso, temos que as raízes são:
E
Prontinho! Esses são os valores de em que a reta tangente à função nesses pontos é perpendicular à reta .
Resposta
e .