Encontre todos os valores de x nos quais a reta tangente à curva dada satisfaz a propriedade enunciada.

y = x + 3 x + 2 ; perpendicular à reta y = x .

Passo 1

Para que a reta tangente à curva seja perpendicular à reta y = x , seu coeficiente angular deve ser menos o coeficiente angular da reta, ou seja, o oposto, certo? No caso, o coeficiente deve ser - 1 .

Como o coeficiente angular da reta tangente à curva é a derivada da mesma curva, temos que a derivada de y é - 1 . Então, vamos achar todos os valores de x em que a derivada de y seja - 1 !

Passo 2

Temos que:

y = x + 3 x + 2

Derivando, pela regra do quociente:

y ' = x + 3 ' ( x + 2 ) - ( x + 3 ) x + 2 ' x + 2 2

y ' = ( 1 ) ( x + 2 ) - ( x + 3 ) ( 1 ) x + 2 2

y ' = x + 2 - x - 3 x + 2 2

y ' = - 1 x + 2 2

Show, agora temos a derivada de y .

Passo 3

Para quais valores de x a derivada da função será - 1 ? Nós temos que:

y ' = - 1 x + 2 2

Olhando com cuidado, vemos de cara que x ≠ - 2 , pois se fosse - 2 zeraria o denominador e não queremos isso.

Olhando de novo, temos que igualar a derivada a - 1 ! Logo:

y ' = - 1 x + 2 2 = - 1

- 1 = - x + 2 2

1 = x + 2 2

1 = x 2 + 4 x + 4

x 2 + 4 x + 3 = 0

Opa, temos uma equação do segundo grau. Só precisamos resolver essa equação para achar os pontos onde a derivada de y é - 1 . Para isso, usaremos Bhaskara:

- b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 4 ± 16 - 12 2 = - 4 ± 2 2

Com isso, temos que as raízes são:

- 1

E

- 3

Prontinho! Esses são os valores de x em que a reta tangente à função nesses pontos é perpendicular à reta y = x .

Resposta

1 e - 3 .

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