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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.4 - Ex. 27

Encontre os valores máximo e mínimo absolutos, se houver, nos intervalos dados e indique onde esses valores ocorrem.

f x = x 2 + 1 x + 1 ,   - 5 , - 1

Passo 1

E aí, tudo joia?

Uma questãozinha de máximo e mínimo de função pra a gente!

Nessas questões não tem segredo: a gente deriva a função, vê onde a derivada zera, e depois vê o que é máximo e mínimo. Aqui a gente tem um intervalo limitado, então vamos nos atentar a isso aí depois!

Bora lá?!

Passo 2

Vamos derivar essa função. Regra do quociente, não esquece!

Bora lá!

f ' x = 2 x x + 1 - ( 1 ) ( x 2 + 1 ) x + 1 2

f ' x = 2 x 2 + 2 x - x 2 - 1 x + 1 2

f ' x = x 2 + 2 x - 1 x + 1 2

Passo 3

Agora a gente tem que ver onde essa derivada zera! Lembra que denominador não pode nem pensar em zerar, então a gente vai só na função de cima:

x 2 + 2 x - 1 = 0

A gente tem que ver se essa equaçãozinha tem raiz. Bhaskara nela!

Δ = 2 2 - 4 ( 1 ) ( - 1 )

Δ = 4 + 4 = 8

x =   - 2 ± 8 2 = - 2 ± 2 2 2

x = - 1 ± 2

Achamos um pontinho! Vamos verificar esses valores e os valores do intervalo então...

Passo 4

f - 5 = - 5 2 + 1 - 5 + 1 = 25 + 1 - 4 =   - 26 4 =   - 13 2

f - 1 - 2 = 1 + 2 2 + 2 + 1 - 1 - 2 + 1 = 2 2 + 4 - 2 = - 2 - 2 2

f - 1 + 2 = 1 - 2 2 + 2 + 1 - 1 + 2 + 1 = - 2 2 + 4 2 = - 2 + 2 2

f - 1 = - 1 2 + 1 - 1 + 1 = n ã o   e s t á   d e f i n i d o

A gente então só tem um ponto mínimo em x = - 5 😉

Resposta

Ponto de mínimo: - 5 ,   - 13 2  

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