Enunciado

Em cada parte, faça um esboço aproximado do gráfico usando assíntotas e limites apropriados, mas não derivadas. Compare seu esboço ao gerado por um recurso gráfico computacional.

  1. y = 3 x 2 - 8 x 2 - 4
  2. y = x 2 + 2 x x 2 - 1

Passo 1

  1. Vamos lá, aqui como o numerador e o denominador não têm fatores comuns, vamos utilizar alguns passos para facilitar obter o gráfico da função:
  2. Primeiro vamos ver se a função possui alguma simetria em relação ao eixo y , vamos substituir x por - x e vamos ver se a equação muda:

    3 - x 2 - 8 - x 2 - 4 = 3 x 2 - 8 x 2 - 4

    A equação não mudou, então temos uma simetria no eixo y .

    Passo 2

    Agora vamos encontrar os cortes com os eixos coordenados fazendo y = 0 e x = 0 :

    y = 3 x 2 - 8 x 2 - 4 → 0 = 3 x 2 - 8 x 2 - 4 → 3 x 2 - 8 = 0 → x 2 = 8 3 → x = ± 2 6 3

    y = 3 ⋅ 0 2 - 8 0 2 - 4 = - 8 - 4 = 2

    Pronto, agora sabemos onde a função corta o eixo x e o eixo y .

    Passo 3

    Próximo passo é encontrar os valores de x com os quais o denominador é igual a zero, nesses lugares o gráfico tem uma assíntota vertical, ou seja, vai aumentando, sempre se aproximando desse valor, mas nunca toca nesse ponto:

    x 2 - 4 = 0 → x 2 = 4 → x = ± 2

    Temos então uma assíntota vertical em x = ± 2 .

    Passo 4

    Próximo passo é analisar o sinal de f x , vamos analisar os lugares em que f x pode trocar de sinal, vamos ver os pontos de corte com o eixo x e nas assíntotas verticais achando intervalos e analisando se f x é positivo ou negativo nesses intervalos:

    Temos então que nos intervalos - 2 , - 2 6 3 e 2 6 3 , 2 a função é negativa, e nos intervalos - ∞ , - 2 , - 2 6 3 , 2 6 3 e 2 , + ∞ é positiva.

    Passo 5

    Agora vamos determinar o comportamento no infinito do gráfico calculando os limites de f x quando x → + ∞ e quando x → - ∞ , e se algum desses limites tiverem um valor finito L , então a reta y = L é uma assíntota horizontal:

    lim x → + ∞ ⁡ 3 x 2 - 8 x 2 - 4 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 3 - 8 x 2 x 2 1 - 4 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ 3 - 8 x 2 1 - 4 x 2 = 3

    lim x → - ∞ ⁡ 3 x 2 - 8 x 2 - 4 = lim x → - ∞ ⁡ x 2 3 - 8 x 2 x 2 1 - 4 x 2 = lim x → - ∞ ⁡ 3 - 8 x 2 1 - 4 x 2 = 3

    Pronto, temos então uma assíntota horizontal em y = 3 .

    Passo 6

    Pronto, agora com todas essas informações fica mais simples de esboçar o gráfico, vamos lá:

    Passo 7

  3. Vamos lá, aqui como o numerador e o denominador não têm fatores comuns, vamos utilizar alguns passos para facilitar obter o gráfico da função:

Primeiro vamos ver se a função possui alguma simetria em relação ao eixo y , vamos substituir x por - x e vamos ver se a equação muda:

- x 2 + 2 - x - x 2 - 1 = x 2 - 2 x x 2 - 1

A equação mudou, então não temos uma simetria no eixo y .

Passo 2

Agora vamos encontrar os cortes com os eixos coordenados fazendo y = 0 e x = 0 :

y = x 2 + 2 x x 2 - 1 → 0 = x 2 + 2 x x 2 - 1 → x 2 + 2 x = 0 → x x + 2 = 0 →

x = 0

x = - 2

y = 0 2 + 2 ⋅ 0 0 2 - 1 = 0

Pronto, agora sabemos onde a função corta o eixo x e o eixo y .

Passo 3

Próximo passo é encontrar os valores de x com os quais o denominador é igual a zero, nesses lugares o gráfico tem uma assíntota vertical, ou seja, vai aumentando, sempre se aproximando desse valor, mas nunca toca nesse ponto:

x 2 - 1 = 0 → x 2 = 1 → x = ± 1

Temos então uma assíntota vertical em x = ± 1 .

Passo 4

Próximo passo é analisar o sinal de f x , vamos analisar os lugares em que f x pode trocar de sinal, vamos ver os pontos de corte com o eixo x e nas assíntotas verticais achando intervalos e analisando se f x é positivo ou negativo nesses intervalos:

Temos então que nos intervalos - 2 , - 1 e 0 , 1 a função é negativa, e nos intervalos - ∞ , - 2 , - 1 , 0 e 1 , + ∞ é positiva.

Passo 5

Agora vamos determinar o comportamento no infinito do gráfico calculando os limites de f x quando x → + ∞ e quando x → - ∞ , e se algum desses limites tiverem um valor finito L , então a reta y = L é uma assíntota horizontal:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 2 x x 2 - 1 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 1 + 2 x x 2 1 - 1 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ 1 + 2 x 1 - 1 x 2 = 1

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 2 x x 2 - 1 = lim x → - ∞ ⁡ x 2 1 + 2 x x 2 1 - 1 x 2 = lim x → - ∞ ⁡ 1 + 2 x 1 - 1 x 2 = 1

Pronto, temos então uma assíntota horizontal em y = 1 .

Passo 6

Pronto, agora com todas essas informações fica mais simples de esboçar o gráfico, vamos lá:

Resposta

a)

b)

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Represente graficamente as equações dos Exercícios 9-58 seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos loc
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