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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 51

Represente graficamente as equações dos Exercícios 9-58 seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

51-

y = l n ⁡ ( 3 - x 2 )

Passo 1

Como a derivada de l n ⁡ ( x ) é 1 x , podemos ter a primeira derivada da função :

y ' = 1 3 - x 2 ×   - 2 x

E para a segunda derivada temos:

y ' ' = - 2 x ' 3 - x 2 - ( 2 x ) ( 3 - x 2 ) ' 3 - x 2 2

y ' ' = - 2 3 - x 2 - ( 2 x ) ( - 2 x ) 3 - x 2 2

y ' ' = - 6 + 2 x 2 3 - x 2 2

Passo 2

Note que a função l n ⁡ ( 0 ) ou com qualquer valor negativo não pode existir então obrigatoriamente o valor que está dentro de l n ⁡ ( x ) tem que ser positivo, o que implica:

3 - x 2 > 0 ∴ x 2 < 3

x < 3

Agora vamos encontrar os pontos críticos da função ao analisar y '

- 2 x = 0

x = 0

A função tem um valor máximo ou mínimo em x = 0

Passo 3

Testando esse ponto para vermos se é máximo ou mínimo local temos:

y ' ' 0 = - 6 + 2 × 0 2 3 - 0 2 2 = - 6 9 → n e g a t i v o

Logo o ponto x = 0 é máximo local com concavidade para baixo.

Testando a função do numerador 6 + 2 x 2 vemos que suas raízes são imaginárias , logo elas nunca poderão ser 0. Não havendo pontos de inflexão.

Passo 4

Agora temos que ver os limites da função, como ela está delimitada somente entre as assíntotas x= ± 3 vamos fazer o limite tendendo para elas .

lim x → 3 ⁡ l n ⁡ ( 3 - x 2 )

Ou

lim x → 0 ⁡ l n ⁡ ( 0 ) = - ∞

Pelo gráfico do logaritmo conseguimos ver essa definição :

Então perto das assíntotas a função tende a - ∞ .

Passo 5

Agora vamos organizar nossos intervalos para vermos seu comportamento:

Pontos de Teste: -1 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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