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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 50

Represente graficamente as equações dos Exercícios 9-58 seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

50-

y = e x x

Passo 1

Fazendo a primeira derivada pela regra do quociente temos:

y ' = e x x - e x x 2 = e x x x 2 - e x x 2 = e x x - e x x 2

y ' = e x x - 1 x 2 = e x x - e x x 2

Agora fazendo a segunda derivada, também pela regra do quociente:

y ' ' = e x x - e x x 2 - e x ' x 2 - ( e x ) ( x 2 ) ' x 4

y ' ' = e x x - e x x 2 - x 2 e x - 2 x e x x 4

y ' ' = e x x - e x x 2 - e x x 2 + 2 e x x 3

y ' ' = e x x - 2 e x x 2 + 2 e x x 3

Arrumando:

y ' ' = e x ( x 2 - 2 x - 1 ) x 3

Passo 2

Para ver os pontos críticos da função temos que fazer y ' igual a 0.

e x x - 1 x 2 = 0

Ai ou e x =0 , o que nunca ocorre ou x - 1 = 0 → x = 1

Logo x = 1 é um ponto de máximo ou mínimo local.

Além de que temos uma assíntota em x = 0 , por conta do denominador da função.

Passo 3

Agora verificando os pontos de máximo e mínimo e os de inflexão analisaremos a derivada segunda:

Para x=1:

y ' ' 1 = e 1 ( 1 2 - 2 1 - 1 ) 1 3 = e 1 - 0 = e → p o s i t i v o

Logo x=1 representa um mínimo local.

Agora vendo se temos pontos de inflexão:

Basta ver se y’’ é 0 em algum momento:

e x x 2 - 2 x - 1 = 0

Para que isso ocorra ou e x = 0 , o que nunca ocorre ou x 2 - 2 x - 1 = 0 o que veremos com calma:

x 2 - 2 x + 2 = 0

É uma equação do segundo grau com raízes imaginárias: x = 1 + i e x = 1 - i

Então não temos pontos de inflexão.

Passo 4

Agora vamos ver os limites da nossa equação fazendo os limites para infinito e perto da assíntota encontrada y = 0

Para mais infinito:

lim x → + ∞ ⁡ e x x

Como dá indeterminação ∞ ∞ podemos fazer L’Hopital, ficando:

lim x → ∞ ⁡ e x = ∞

Para menos infinito:

lim x → - ∞ ⁡ e x x

Temos :

0 ∞   o u   0 × 0 = 0

Agora fazendo limite de zera a esquerda e a direita

Para zero a direita temos:

lim x → 0 + ⁡ e x x

O que dá:

1 0 → 1 × ∞ = + ∞

Agora para zero a esquerda temos:

lim x → 0 - ⁡ e x x

O que dá:

1 × - ∞ = - ∞

Passo 5

Agora organizando nossos intervalos temos:

Pontos de teste: -1, 0.5,2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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