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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 56c

Em cada parte, use o Exercício 52 para determinar se a integral converge ou diverge. Se convergir, então use a parte (b) daquele exercício para encontrar uma cota superior para o valor da integral.

(a) ∫ 0 + ∞ x e x 2 x + 1 d x

Passo 1

Relembrando, o exercício 52 fala sobre o teste de comparação para integrais imprórprias. Como ele funciona?

Se f e g forem contínuas e

0 ≤ f x ≤ g ( x )

E isso acontecer dentro do intervalo onde x ≥ a , vamos dizer que:

- Se ∫ a + ∞ f x d x diverge, então ∫ a + ∞ g ( x ) d x diverge.

- Se ∫ a + ∞ g x d x converge, então ∫ a + ∞ f ( x ) d x converge e ∫ a + ∞ f x d x ≤ ∫ a + ∞ g x d x .

A ideia aqui é achar uma função que limita nosso integrando por baixo ou por cima, no intervalo de integração, e testar para ver se a integral dessa função, com os nossos extremos de integração, diverge ou converge.

Belezinha? Vamos começar!

Passo 2

Nosso integrando é:

x e x 2 x + 1

Nessa, a gente vai precisar fazer uma manobra de esperteza. Pensa comigo, que a gente pode dizer que:

∫ 0 + ∞ x e x 2 x + 1 d x > ∫ 1 + ∞ x e x 2 x + 1 d x

Ou seja, se a gente diminuir o intervalo de integração, nosso resultado da integral vai ser menor. A gente só pode dizer isso porque essa função só assume valores positivos, porque x ≥ 0 .

Então, agora, a gente vai focar em achar uma função menor que o nosso integrando, dentro do intervalo novo:

x ≥ 1

Passo 3

Você deve estar se perguntando por que a gente fez isso. Pergunta válida. A gente fez isso porque acontece algo muito legal em x ≥ 1 . Isso aqui oh:

1 < e x

Agora vamos brincar um pouco com essa inequação:

1 ≤ e x ∴ x < x e x

Mas lembra que no nosso novo intervalo, x ≥ 1 :

1 ≤ x < x e x ∴ 1 2 x + 1 ≤ x 2 x + 1 < x e x 2 x + 1

Repara que nossa função apareceu no último termo. Vamos esquecer o do meio, e escrever:

1 2 x + 1 < x e x 2 x + 1 ∴ f x = 1 2 x + 1 < x e x 2 x + 1 = g ( x )

Logo, nossa função limitante é f x = 1 / ( 2 x + 1 ) .

Passo 4

A gente vai calcular a integral dessa função com os nossos novos extremos de integração e ver se ela converge ou diverge. Usando a substituição u = 2 x + 1 , ela fica assim:

∫ 1 + ∞ 1 2 x + 1 d x = lim l → ∞ ⁡ ∫ 1 l 1 2 x + 1 d x = lim l → ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ 2 x + 1 | l 1 =

∫ 1 + ∞ 1 2 x + 1 d x = lim l → ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ 2 l + 1 → ∞

Ih a integral diverge. Como nosso integrando é maior que essa função, dentro do novo intervalo de integração, a nossa integral

∫ 1 + ∞ x e x 2 x + 1 d x

Também vai divergir. Mas lembra que a nossa integral original tinha essa relação com a integral que descobrimos que diverge:

∫ 0 + ∞ x e x 2 x + 1 d x > ∫ 1 + ∞ x e x 2 x + 1 d x

Se a integral menor explode para infinito, a maior certamente vai explodir também. Logo, nossa integral original diverge.

Resposta

Diverge

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