O projeto do Gateway Arch em St. Louis, Missouri, foi elaborado pelo arquiteto Eero Saarinan e implementado usando as equações fornecidas pelo Dr. Hannskarl Badel. As equações usadas para curva central do arco foram

com entre e .

(a) Use um recurso computacional para fazer o gráfico da curva central do arco.

(b) Encontre o comprimento da curva central com quatro casas decimais.

(c) Para quais valores de a altura do arco é ? Arredonde sua resposta para quatro casas decimais.

(d) Aproxime até o grau mais próximo o ângulo agudo que a reta tangente à curva central faz com o solo no final do arco.

(b) A fórmula para o comprimento da curva, no intervalo , é:

Para o nosso caso, os dados ficam:

E pela regra da cadeia:

Substituindo esses dados na fórmulinha, e calculando a integral na calculadora gráfica, a gente tem que:

(c) A altura do arco é o valor de . Então precisamos descobrir para que valores de temos , usando a equação do arco:

Substituindo e isolando :

Fazendo essa continha na calculadora:

Lembrando que a gente coloca esse porque o cosseno hiperbólico é uma função par (simétrica em relação ao eixo ).

(d) Sabemos que o ângulo que uma reta faz com a horizontal é:

Onde é o coeficiente angular da reta.

E sabemos também que o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto em que ela toca o chão, no final do arco é:

Onde

Podemos achar esse ângulo para o ponto final da curva, usando a expressão abaixo na calculadora gráfica:

O ângulo agudo é o ângulo, menor que , que a nossa reta faz com o eixo (solo). Pelo nosso resultado, a gente vê que esse ângulo é .