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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 51

Encontre a área da região que é delimitada pelo eixo x e a curva y = ln ⁡ x - 1 x 2 com x   ≥   e .

Passo 1

Para esse caso, usamos a expressão que calcula a área de sólidos infinitos:

A = ∫ 0 + ∞ f x d x

Primeiro a integração, depois calculamos o limite. Assim, substituindo, temos:

A = ∫ e + ∞ ln ⁡ x - 1 x 2 d x = lim b → + ∞ ⁡ ∫ e + ∞ ln ⁡ x - 1 x 2 d x

Passo 2

Para a integral, aplicamos o método da integração por partes, em que u = ln ⁡ x - 1 e v = 1 x 2

∫ ln ⁡ x - 1 x 2 d x = - ln ⁡ x - 1 x - ∫ - 1 x 2 d x

= - ln ⁡ x - 1 x - 1 x + C

Calculando os limites de integração:

= 0 - ( - 1 e )

= 1 e

Por fim, calculando o limite:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ e + ∞ ln ⁡ x - 1 x 2 d x = l i m b → + ∞ 1 e = 1 e

Prontinho!!

Resposta

1 e

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Calcule as integrais que convirjam. ∫ 12 + ∞ d x x x + 4 [Nota: u → + ∞ quando x → + ∞ ]
Faça a substituição u e calcule a integral definida resultante. ∫ 0 + ∞ e - x 1 - e - x d x ; u = e - x
Calcule ∫ 0 1 1 xd x
Calcule ∫ 0 1 1 1 - x 2d x
Calcule ∫ 0 1 ln ⁡ xd x