Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 56b
Em cada parte, use o Exercício 52 para determinar se a integral converge ou diverge. Se convergir, então use a parte (b) daquele exercício para encontrar uma cota superior para o valor da integral.
(a)
Passo 1
Relembrando, o exercício 52 fala sobre o teste de comparação para integrais imprórprias. Como ele funciona?
Se e forem contínuas e
E isso acontecer dentro do intervalo onde , vamos dizer que:
- Se diverge, então diverge.
- Se converge, então converge e .
A ideia aqui é achar uma função que limita nosso integrando por baixo ou por cima, no intervalo de integração, e testar para ver se a integral dessa função, com os nossos extremos de integração, diverge ou converge.
Belezinha? Vamos começar!
Passo 2
Nosso integrando é:
Vamos achar uma função que limita ela por baixo ou por cima, no intervalo , já que é o extremo de integração inferior.
Como o valor de sempre vai ser maior que , podemos escrever:
Agora vamos brincar um pouco com essa inequação:
Repara que nossa função apareceu no primeiro termo e que a gente pode simplificar o último termo. Vamos escrever:
Logo, nossa função limitante é .
Passo 3
A gente vai calcular a integral dessa função com os nossos extremos de integração e ver se ela converge ou diverge.
Ih a integral converge. Como nosso integrando é menor que essa função, dentro do intervalo de integração, a nossa integral
Também vai convergir. E a gente vai dizer que:
Logo, o limitante superior para nossa integral é .
Resposta
Converge.