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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 64

Em cada parte, use a integração por partes ou outros métodos para deduzir a fórmula de redução.

(a) ∫ sec n ⁡ x d x = sec n - 2 ⁡ x t g ( x ) n - 1 + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x

(b) ∫ t g n x d x = t g n - 1 n - 1 - ∫ t g n - 2 x d x

(c) ∫ x n e x d x = x n e x - n ∫ x n - 1 e x d x

Passo 1

  1. Vamos utilizar a integração por partes para resolver o problema, utilizando o esquema:

    2. ∫ u d v = u v - ∫ v d u

    Observando nossa integral e a resposta :

    ∫ sec n ⁡ x d x = sec n - 2 ⁡ x t g ( x ) n - 1 + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x

    Podemos chamar :

    u = sec n - 2 ⁡ x

    d u = n - 2 sec n - 2 x ⁡ t g x d x

    d v = sec 2 ⁡ x d x

    v = t g x

    Com isso, podemos montar a integral por partes:

    ∫ sec n ⁡ x d x = sec n - 2 ⁡ x t g ( x ) - ( n - 2 ) ∫ sec 2 ⁡ x t g 2 ( x ) d x

    Utilizando a identidade trigonométrica 1 + t g 2 x = sec 2 ⁡ ( x ) :

    ∫ sec n ⁡ x d x = sec n - 2 ⁡ x t g ( x ) - ( n - 2 ) ∫ sec n - 2 ⁡ x ( sec 2 ⁡ ( x ) - 1 ) d x

    Separando a integral, temos:

    ∫ sec n ⁡ x d x = sec n - 2 ⁡ x t g ( x ) - ( n - 2 ) ∫ sec n ⁡ x d x + ( n - 2 ) ∫ sec n - 2 ⁡ ( x ) d x

    Isolando os termos iguais:

    ∫ sec n ⁡ x d x + ( n - 2 ) ∫ sec n ⁡ x d x = sec n - 2 ⁡ x t g ( x ) + ( n - 2 ) ∫ sec n - 2 ⁡ ( x ) d x

    Simplificando, temos:

    [ 1 + n - 2 ] ∫ sec n ⁡ x d x = sec n - 2 ⁡ x t g ( x ) + ( n - 2 ) ∫ sec n - 2 ⁡ ( x ) d x

    Assim:

    ( n - 1 ) ∫ sec n ⁡ x d x = sec n - 2 ⁡ x t g ( x ) + ( n - 2 ) ∫ sec n - 2 ⁡ ( x ) d x

    Dividindo ambos os lados por n - 1 :

    ∫ sec n ⁡ x d x = 1 n - 1 sec n - 2 ⁡ x t g ( x ) + ( n - 2 ) n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ ( x ) d x

    Passo 2

  2. ∫ t g n x d x = t g n - 1 n - 1 - ∫ t g n - 2 x d x

    3. Podemos relembrar que a m + n = a m a n , e para usar a identidade trigonométrica que diz que t g 2 x = sec 2 ⁡ ( x ) - 1 :

    ∫ t g n - 2 x d x = ∫ t g n - 2 ( x ) ( sec 2 ⁡ x - 1 ) d x

    Separando as integrais, temos que:

    ∫ t g n x d x = ∫ t g n - 1 ( x ) ( sec 2 ⁡ ( x ) ) d x - ∫ t g n - 2 ( x ) d x

    Resolvendo, temos:  

    ∫ t g n x d x = 1 n - 1 t g n - 1 x - ∫ t g n - 2 ( x ) d x

    Passo 3

  3. ∫ x n e x d x = x n e x - n ∫ x n - 1 e x d x

Vamos utilizar integração por partes e analisar a fórmula dada e os resultados para dizer que :

u = x n

d u = n x n - 1 d x

d v = e x d x

v = e x

Aplicando na integração por partes, temos que:

∫ x n e x d x = x n e x - n ∫ x n - 1 e x d x

Resposta

(a) ∫ sec n ⁡ x d x = 1 n - 1 sec n - 2 ⁡ x t g ( x ) + ( n - 2 ) n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ ( x ) d x

(b) ∫ t g n x d x = 1 n - 1 t g n - 1 x - ∫ t g n - 2 ( x ) d x

(c) ∫ x n e x d x = x n e x - n ∫ x n - 1 e x d x

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