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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 68

Use a fórmula:

∫ f - 1 x d x = x f - 1 x - ∫ f y d y , sendo y = f - 1 ( x )

Expresse suas respostas em termos de x:

68 - ∫ t g - 1 x   d x

Passo 1

Desta forma reescreveremos a função na integral:

Vamos utilizar a fórmula indicada no enunciado, deste modo:

∫ f - 1 x d x = x f - 1 x - ∫ f y d y

Sendo:

f - 1 x = t g - 1 x e f y = t g ( y )

Desta forma:

∫ f - 1 x d x = x t g - 1 x - ∫ t g ( y ) d y

Passo 2

Resolveremos agora a parte da integral:

x t g - 1 x - ∫ t g ( y ) d y

Dado: ∫ t g y =   - ln ⁡ ( c o s y ) + c

Deste modo teremos:

x t g - 1 x - ( - ln ⁡ ( c o s y ) ) +   c =

x t g - 1 x + ln ⁡ ( c o s y ) + c

Passo 3

Dado: y = f - 1 ( x ) , substituindo teremos:

x t g - 1 x + ln ⁡ ( c o s t g - 1 x ) + c

Resposta

x t g - 1 x + ln ⁡ ( c o s t g - 1 x ) + c

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