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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.5 - Ex. 4c

Para cada ponto crítico, encontre o sistema linear correspondente. Encontre os autovalores e autovetores do sistema linear; classifique cada ponto crítico em relação ao tipo e determine se é assintoticamente estável, estável ou instável.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos e classificarmos os pontos críticos das nossas equações. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser montar o Jacobiano do nosso campo vetorial.

J =   1,125 - 2 x - 0,5 y - 0,5 x y - 1 + x

Para os valores iguais a zero, temos os seguintes valores críticos:

x 9 8 - x - 0,5 y = 0

y - 1 + x = 0

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir esses valores no Jacobiano e achar os autovalores e autovetores!!

J 0   ,   0 =   9 / 8 - 9 / 16 0 1 / 8     ∴       r 1 = 9 8   ; r 2 = - 1     ∴       ξ 1 = 1 0   ;   ξ 2 = 0 1   → i n s t á v e l

J 9 8 ,   0 =   9 / 8 - 9 / 16 0 1 / 8     ∴           r 1 = 9 8   ; r 2 = - 1     ∴       ξ 1 = 1 0   ;   ξ 2 = 0 1   → i n s t á v e l

J 1   ,   0,25 =   - 1 - 0,5 1 / 4 0     ∴       r 1 = - - 2 ± 2 4   ∴       ξ 1 = - 2 ± 2 0 →   a s s i n t o t i c a m e n t e   e s t á v e l

Resposta

J 0   ,   0 =   9 / 8 - 9 / 16 0 1 / 8     ∴       r 1 = 9 8   ; r 2 = - 1     ∴       ξ 1 = 1 0   ;   ξ 2 = 0 1   → i n s t á v e l

J 9 8 ,   0 =   9 / 8 - 9 / 16 0 1 / 8     ∴           r 1 = 9 8   ; r 2 = - 1     ∴       ξ 1 = 1 0   ;   ξ 2 = 0 1   → i n s t á v e l

J 1   ,   0,25 =   - 1 - 0,5 1 / 4 0     ∴       r 1 = - - 2 ± 2 4   ∴       ξ 1 = - 2 ± 2 0 →   a s s i n t o t i c a m e n t e   e s t á v e l

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