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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.7 - Ex. 5

Em cada um dos problemas de 1 a 10 :

(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.

(b) Encontre, também, a matriz fundamental Φ ( t ) que satisfaz Φ ( 0 )   =   I .

x ' = 2 - 5 1 - 2 x

Passo 1

a) Para encontramos a matriz fundamento é necessária determinar os autovetores e autovalores da matriz que estamos trabalhando.

Caso você não tenha muito firme este assunto, recomendo que você visite a seção de álgebra linear do responde ai, vá em autovetores e autovalores e de uma revisada boa.

Caso queiras uma breve e resolução rápida, nas questões pares estarei resolvendo rapidamente os autovalores e autovetores.

Passo 2

Temos os autovalores e autovetores como:

r 1 = i

ξ 1 = 5 cos ⁡ t 2 cos ⁡ t + s e n   t

r 2 = - i

ξ 2 = 5   s e n   t - cos ⁡ t + 2   s e n   t

Aplicando a formula da solução geral temos:

x = c 1 x 1 t + c 2 x ( 2 ) t

Logo a solução geral fica:

x = c 1 5 cos ⁡ t 2 cos ⁡ t + s e n   t + c 2 5   s e n   t - cos ⁡ t + 2   s e n   t

Como c 1 e c 2 formam um par fundamental de solução para equação:

x ' = P t x

Temos que a matriz fundamental pode ser determinada:

Ψ t = x 1 1 t x 2 2 t x n 1 t x n 2 t

Aplicando a solução:

Ψ t = 5 cos ⁡ t 5   s e n   t 2 cos ⁡ t + s e n   t   - cos ⁡ t + 2 sen ⁡ t

Passo 3

b) Note que a notação para uma matriz fundamental arbitraria o livro estará utilizando Ψ e para uma matriz fundamental que satisfaz as condições inicias Φ .

Para determinarmos Φ ( t ) que satisfaz Φ 0 = I , aplicaremos a seguinte formula:

Φ t = Ψ t ∙ Ψ - 1 0

Determinando:

Ψ 0 = 5 0 2 - 1

Calculando a inversa:

Ψ ∙ Ψ - 1 = I

Ψ - 1 0 = - 1 15 - 1 0 - 2 5

Aplicando a formula temos:

Φ t = Ψ t ∙ Ψ - 1 0

Φ t = - 1 15 5 cos ⁡ t 5   s e n   t 2 cos ⁡ t + s e n   t   - cos ⁡ t + 2 sen ⁡ t 5 0 2 - 1

Φ t = - 1 15 25 cos ⁡ t + 10   s e n   t - 5 s e n   t 8 cos ⁡ t + 9   s e n   t cos ⁡ t - 2   s e n   t

Resposta

a) Ψ t = 5 cos ⁡ t 5   s e n   t 2 cos ⁡ t + s e n   t   - cos ⁡ t + 2 sen ⁡ t

b) Φ t = - 1 15 25 cos ⁡ t + 10   s e n   t - 5 s e n   t 8 cos ⁡ t + 9   s e n   t cos ⁡ t - 2   s e n   t

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