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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.7 - Ex. 8

Em cada um dos problemas de 1 a 10 :

(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.

(b) Encontre, também, a matriz fundamental Φ ( t ) que satisfaz Φ ( 0 )   =   I .

x ' = 1 - 1 5 - 3 x

Passo 1

a) Para encontramos a matriz fundamento é necessária determinar os autovetores e autovalores da matriz que estamos trabalhando.

Caso você não tenha muito firme este assunto, recomendo que você visite a seção de álgebra linear do responde ai, vá em autovetores e autovalores e de uma revisada boa.

Passo 2

Temos os autovalores e autovetores como:

r 1 = - 1

ξ 1 = cos ⁡ t 2 cos ⁡ t + s e n   t

r 2 = - 1

ξ 2 = s e n   t - cos ⁡ t + 2   s e n   t

Aplicando a formula da solução geral temos:

x = c 1 x 1 t + c 2 x ( 2 ) t

Em que:

x ( 1 ) t = cos ⁡ t 2 cos ⁡ t + s e n   t ∙ e - t

x ( 1 ) t = e - t ∙ cos ⁡ t 2 e - t cos ⁡ t + e - t s e n   t

E:

x 2 t = s e n   t - cos ⁡ t + 2   s e n   t ∙ e - t

x 2 t = e - t ∙ s e n   t - e - t cos ⁡ t + 2   s e n   t

Logo a solução geral fica:

x = c 1 e - t ∙ cos ⁡ t 2 e - t cos ⁡ t + e - t s e n   t + c 2 e - t ∙ s e n   t - e - t cos ⁡ t + 2   s e n   t

Como c 1 e c 2 formam um par fundamental de solução para equação:

x ' = P t x

Temos que a matriz fundamental pode ser determinada:

Ψ t = x 1 1 t x 2 2 t x n 1 t x n 2 t

Aplicando a solução:

Ψ t = e - t ∙ cos ⁡ t e - t ∙ s e n   t 2 e - t cos ⁡ t + e - t s e n   t - e - t cos ⁡ t + 2   s e n   t

Passo 3

b)Para solução específica teremos os valores de condição inicial:

x 0 = e 1

Aplicando a condição inicial em x 1 :

x 1 = e - t ∙ cos ⁡ t + 2   s e n   t 5   s e n   t

Aplicando a condição inicial em x 2 :

x 2 = e - t   ∙ - s e n   t cos ⁡ t   - 2 s e n   t

Como a matriz fundamental de valores especificos é determinada por:

Φ t = Ψ t ∙ Ψ - 1 0

Ou aplicando as condições iniciais temos que:

Φ t = cos ⁡ t + 2   s e n   t - s e n   t 5   s e n   t cos ⁡ t   - 2 s e n   t

Resposta

a) Ψ t = e - t ∙ cos ⁡ t e - t ∙ s e n   t 2 e - t cos ⁡ t + e - t s e n   t - e - t cos ⁡ t + 2   s e n   t

b)

Φ t = cos ⁡ t + 2   s e n   t - s e n   t 5   s e n   t cos ⁡ t   - 2 s e n   t

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