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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.7 - Ex. 4

Em cada um dos problemas de 1 a 10 :

(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.

(b) Encontre, também, a matriz fundamental Φ ( t ) que satisfaz Φ ( 0 )   =   I .

x ' = 1 1 4 - 2 x

Passo 1

a) Para encontramos a matriz fundamento é necessário determinar os autovetores e autovalores da matriz que estamos trabalhando.

Caso você não tenha muito firme este assunto, recomendo que você visite a seção de álgebra linear do responde ai, vá em autovetores e autovalores e de uma revisada boa.

Determinando os autovalores:

det ⁡ r ∙ I - P = 0

Em que P = 1 1 4 - 2 :

det ⁡ r ∙ 1 0 0 1 - 1 1 4 - 2 = 0

det ⁡ r - 1 - 1 - 4 r - 2 = 0

r 2 - 3 r + 2 = 0

r 1 = 2

r 2 = 1

Determinando o autovetor:

0 → = r 1 ∙ I - P v →

0 → = 2 ∙ 1 0 0 1 - 1 1 4 - 2 v →

0 → = 1 - 1 - 4 4 v →

Escalonando a matriz temos:

0 → = 1 - 4 0 1 v →

0 0 = 1 - 4 0 1 v 1 v 2

v 1 = 4 v 2

Temos que nosso autovetor:

ξ 1 = v 1 v 2 = t ∙ 4 1

ξ 1 = 4 1

Vamos para o próximo autovetor:

0 → = r 2 ∙ I - P v →

0 → = - 1 ∙ 1 0 0 1 - 1 1 4 - 2 v →

0 → = - 2 - 1 - 4 1 v →

Escalonando a matriz:

0 → = 1 1 2 0 1 v 1 v 2

v 1 = - v 2 2

Temos que nosso autovetor:

ξ 2 = v 1 v 2 = t ∙ - 1 2 1

ξ 2 = - 1 2 1

Após a determinação dos autovalores e autovetores aplicaremos a solução geral para o sistema e assim por final será possível encontrar a matriz fundamental.

Passo 2

Temos os autovalores e autovetores como:

r 1 = 2

ξ 1 = 4 1

r 2 = 1

ξ 2 = - 1 2 1

Aplicando a formula da solução geral temos:

x = c 1 x 1 t + c 2 x ( 2 ) t

Em que:

x ( 1 ) t = 4 1 ∙ e 2 t

x ( 1 ) t = 4 e 2 t 1 e 2 t

E:

x 2 t = - 1 2 1 ∙ e t

x 2 t = - e t 2 e t

Logo a solução geral fica:

x = c 1 4 e 2 t 1 e 2 t + c 2 - e t 2 e t

Como c 1 e c 2 formam um par fundamental de solução para equação:

x ' = P t x

Temos que a matriz fundamental pode ser determinada:

Ψ t = x 1 1 t x 2 2 t x n 1 t x n 2 t

Aplicando a solução:

Ψ t = 4 e 2 t   - e t 2 e 2 t   e t

Passo 3

b) Note que a notação para uma matriz fundamental arbitraria o livro estará utilizando Ψ e para uma matriz fundamental que satisfaz as condições inicias Φ .

Para determinarmos Φ ( t ) que satisfaz Φ 0 = I , aplicaremos a seguinte formula:

Φ t = Ψ t ∙ Ψ - 1 0

Determinando:

Ψ 0 = 4 - 1 2 1   1

Calculando a inversa:

Ψ ∙ Ψ - 1 = I

Ψ - 1 0 = 1 2 9 1 1 2 - 1 4

Aplicando a formula temos:

Φ t = Ψ t ∙ Ψ - 1 0

Φ t = 1 2 9 4 e 2 t   - e t 2 e 2 t   e t 4 - 1 2 1   1

Φ t = 1 2 9 16 e 2 t - e t 2 - 2 e 2 t - e t 2 4 e 2 t + e t - e 2 t   + e t

Resposta

a) Ψ t = 4 e 2 t   - e t 2 e 2 t   e t

b) Φ t = 1 2 9 16 e 2 t - e t 2 - 2 e 2 t - e t 2 4 e 2 t + e t - e 2 t   + e t

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