Em cada um dos problemas de 1 a 10 :

(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.

(b) Encontre, também, a matriz fundamental Φ ( t ) que satisfaz Φ ( 0 )   =   I .

x ' = - 3 4 1 2 1 8 - 3 4 x

Passo 1

a) Para encontramos a matriz fundamento é necessário determinar os autovetores e autovalores da matriz que estamos trabalhando.

Caso você não tenha muito firme este assunto, recomendo que você visite a seção de álgebra linear do responde ai, vá em autovetores e autovalores e de uma revisada boa.

Determinando os autovalores:

det ⁡ r ∙ I - P = 0

Em que P = - 3 4 1 2 1 8 - 3 4 :

det ⁡ r ∙ 1 0 0 1 - - 3 4 1 2 1 8 - 3 4 = 0

det ⁡ r + 3 4 - 1 2 - 1 8 r + 3 4 = 0

16 r 2 + 24 r + 8 = 0

r 1 = - 1 2

r 2 = - 1

Determinando o autovetor:

0 → = r 1 ∙ I - P v →

0 → = - 1 2 ∙ 1 0 0 1 - - 3 4 1 2 1 8 - 3 4 v →

0 → = 1 4 - 1 - 1 8 1 4 v →

Escalonando a matriz temos:

0 → = 1 - 4 0 1 v →

0 0 = 1 - 4 0 1 v 1 v 2

v 1 = 4 v 2

Temos que nosso autovetor:

ξ 1 = v 1 v 2 = t ∙ 4 1

ξ 1 = 4 1

Vamos para o próximo autovetor:

0 → = r 2 ∙ I - P v →

0 → = - 1 ∙ 1 0 0 1 - - 3 4 1 2 1 8 - 3 4 v →

0 → = - 1 4 - 1 2 - 1 8 - 1 4 v →

Escalonando a matriz:

0 → = 1 - 2 0 0 v 1 v 2

v 1 = 2 v 2

Temos que nosso autovetor:

ξ 2 = v 1 v 2 = t ∙ 2 1

ξ 2 = 2 1

Após a determinação dos autovalores e autovetores aplicaremos a solução geral para o sistema e assim por final será possível encontrar a matriz fundamental.

Passo 2

Temos os autovalores e autovetores como:

r 1 = - 1 2

ξ 1 = 4 1

r 2 = - 1

ξ 2 = 2 1

Aplicando a formula da solução geral temos:

x = c 1 x 1 t + c 2 x ( 2 ) t

Em que:

x ( 1 ) t = 4 1 ∙ e - t 2

x ( 1 ) t = 4 e - t 2 1 e - t 2

E:

x 2 t = 2 1 ∙ e - t

x 2 t = 2 e - t e - t

Logo a solução geral fica:

x = c 1 4 e - t 2 1 e - t 2 + c 2 2 e - t e - t

Como c 1 e c 2 formam um par fundamental de solução para equação:

x ' = P t x

Temos que a matriz fundamental pode ser determinada:

Ψ t = x 1 1 t x 2 2 t x n 1 t x n 2 t

Aplicando a solução:

Ψ t = 4 e - t 2 2 e - t e - t 2 e - t

Passo 3

b) Note que a notação para uma matriz fundamental arbitraria o livro estará utilizando Ψ e para uma matriz fundamental que satisfaz as condições inicias Φ .

Para determinarmos Φ ( t ) que satisfaz Φ 0 = I , aplicaremos a seguinte formula:

Φ t = Ψ t ∙ Ψ - 1 0

Determinando:

Ψ 0 = 4 2 1   1

Calculando a inversa:

Ψ ∙ Ψ - 1 = I

Ψ - 1 0 = 1 2 1 - 2 - 1 4

Aplicando a formula temos:

Φ t = Ψ t ∙ Ψ - 1 0

Φ t = 1 2 4 e - t 2 2 e - t e - t 2 e - t 1 - 2 - 1 4

Φ t = 1 3 4 e - t 2 - 2 e - t - 8 e - t 2 + 8 e - t e - t 2 - e - t - 2 e - t 2 + 4 e - t

Resposta

a) Ψ t = 4 e - t 2 2 e - t e - t 2 e - t

b) Φ t = 1 3 4 e - t 2 - 2 e - t - 8 e - t 2 + 8 e - t e - t 2 - e - t - 2 e - t 2 + 4 e - t

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