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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 14

Em cada um dos Problemas 13 e 14, resolva o sistema de equações dado pelo método do Problema 19 da Seção 7.5. Suponha que t > 0.

t x ' = 1 - 4 4 - 7 x

Passo 1

a)Para determinarmos a solução geral do sistema temos que encontrar os autovalores e autovetores associados.

Para isto utilizaremos a seguinte relação:

A - r I ξ = 0

Em que os autovalores serão as raízes do d e t ⁡ ( A - r I ) .

Determinando os autovalores:

det ⁡ A - r I = 1 - 4 4 - 7 - r 0 0 r

det ⁡ A - r I = 1 - r - 4 4 - 7 - r

det ⁡ A - r I = r 2 + 6 r + 9

Tendo as raízes:

r 1 = - 3

r 2 = - 3

Passo 2

Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando r = - 3 , temos:

A - r I ξ = 0

4 - 4 4 - 4 ∙ ξ 1 ξ 2 = 0

Reduzindo o sistema para:

ξ 1 - ξ 2 = 0

Para r = - 3 :

ξ 1 = 1 1

x ( 1 ) t = 1 1 ∙ e - 3 t

Para podermos calcular a segunda solução linear, teremos que generalizar um vetor próprio:

4 - 4 4 - 4 ∙ η 1 η 2 = 1 1

Temos que:

4 η 1 - 4 η 2 = 1

Assumindo η 2 = k , teremos:

η 1 = k + 1 4

Antes de prosseguirmos, vamos lembrar que podemos assumir u = ln ⁡ t   e transformar a equação inicial coeficiente constante da equação linearmente independente da viável u .

E assim poderemos obter a segunda solução pela multiplicação da primeira solução pela nosso novo fator u . Isto implica que iremos multiplicar a primeira solução pelo fator ln ⁡ t .

Portanto, aplicando a segunda solução para autovalores repetidos:

x 2 = 1 1 t e - 3 t + k + 1 / 4 k e - 3 t = 1 1 t e - 3 t + 1 / 4 0 e - 3 t + k 1 1 e - 3 t

x 2 = 1 1 ( - 3 ) t ln ⁡ t + k + 1 4 k ( - 3 ) t = 1 1 ( - 3 ) t ln ⁡ t + 1 0 ( - 3 ) t + k 1 1 ( - 3 ) t

Resposta

x 2 = 1 1 ( - 3 ) t ln ⁡ t + k + 1 4 k ( - 3 ) t = 1 1 ( - 3 ) t ln ⁡ t + 1 0 ( - 3 ) t + k 1 1 ( - 3 ) t

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